2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性

本题导读

四个选项逐一算 $f(-x)$：与 $f(x)$ 相同是偶、相反是奇、都不同即所求。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()

A. $y=x+\sin 2x$　　　B. $y=x^2-\cos x$　　　C. $y=2^x+\frac{1}{2^x}$　　　D. $y=x^2+\sin x$

🔍【思路分析】

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四个选项逐一算 $f(-x)$：与 $f(x)$ 相同是偶、相反是奇、都不同即所求。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

A：$f(-x)=-x-\sin 2x=-f(x)$，奇函数。

B：$f(-x)=x^2-\cos (-x)=x^2-\cos x=f(x)$，偶函数。

C：$f(-x)=2^{-x}+\frac{1}{2^{-x}}=\frac{1}{2^x}+2^x=f(x)$，偶函数。

D：$f(-x)=x^2-\sin x$，既不等于 $f(x)=x^2+\sin x$，也不等于 $-f(x)$，（如 $f(1)=1+\sin 1\approx 1.84$，$f(-1)=1-\sin 1\approx 0.16$，$-f(1)\approx -1.84$），非奇非偶。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数奇偶性的定义

核心方法：取 $-x$ 代入比较（或用特殊值排除）

避坑指南：（1）$\sin (-2x)=-\sin 2x$、$\cos (-x)=\cos x$ 的诱导公式要熟；（2）C 选项是 $2^x+\frac{1}{2^x}$（偶），不是 $\frac{2^x+1}{2^x}$（非奇非偶）——原卷为”$2^x$ 加分式 $\frac{1}{2^x}$”；（3）定义域须关于原点对称，本题四项都满足，重点全在 $f(-x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性判断是函数性质的固定考点，本题以”四选一找例外”的形式综合考查正弦、余弦、指数函数的奇偶性。

结论推广：记牢结论：奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 + 偶 = 非奇非偶（除非其中之一为零函数）；$g(x)+g(-x)$ 型是偶、$g(x)-g(-x)$ 型是奇。

方法推广：特殊值排除法最快：$f(1)$、$f(-1)$、$-f(1)$ 三个数一比，多数选项立判。

🔗【关联脉络】

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