2007-广东卷文-17 解-三视图还原四棱锥体积侧面积

本题导读

本题考查三视图。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形. （1）求该几何体的体积 $V$； （2）求该几何体的侧面积 $S$．

🔍【思路分析】

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1. 还原：俯视图矩形 $8\times 6$ 带两条对角线，正、侧视图均为等腰三角形 ⟹ 几何体是顶点在底面中心正上方、高 4 的四棱锥。
2. (1) $V=\frac{1}{3}\times 底面积\times 高=\frac{1}{3}\times 8\times 6\times 4=64$。
3. (2) 底面中心到长 8 的边的距离为 3，该侧面斜高 $=\sqrt{4^2+3^2}=5$，两个这样的侧面面积 $2\times \frac{1}{2}\times 8\times 5=40$。
4. 到长 6 的边的距离为 4，斜高 $=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，两个侧面面积 $2\times \frac{1}{2}\times 6\times 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$。
5. $S=40+24\sqrt{2}$。

✅【答案】

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（1）$V=64$；（2）$S=40+24\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是底面为 $8\times 6$ 的矩形、顶点在底面中心正上方且高为 4 的四棱锥（俯视图中矩形加上两条对角线，即四条侧棱的投影）． （1）$V=\frac{1}{3}\times (8\times 6)\times 4=64$． （2）设顶点为 $P$，底面中心为 $O$（对角线交点），$PO=4$． 底面中长为 8 的两条边到中心 $O$ 的距离为 3，故这两条侧面的斜高为 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，其面积之和为 $2\times \frac{1}{2}\times 8\times 5=40$． 长为 6 的另外两条边到 $O$ 的距离为 4，对应侧面斜高为 $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，其面积之和为 $2\times \frac{1}{2}\times 6\times 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$． 故侧面积 $S=40+24\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原四棱锥体积侧面积

核心方法：三视图还原四棱锥：$V=\frac{1}{3}\times 8\times 6\times 4=64$；斜高 $\sqrt{4^2+3^2}=5$、$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$

避坑指南：顶点在底面中心正上方，两类侧面斜高不同：底边 8 对应斜高 5，底边 6 对应 $4\sqrt{2}$，配对错则侧面积错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原与体积侧面积计算是立几解答题常客，2009 广东文 17 标识墩为姊妹题

结论推广：正、侧视图均为等腰三角形且俯视图带对角线，还原为顶点在底面中心的四棱锥

方法推广：三视图还原：对角线在俯视图中出现意味着侧棱交于底面一点；侧面积分侧面逐块算斜高

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2009-广东卷文-17 解-标识墩三视图
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2012-广东卷文-07 单-三视图求体积
• 2015-广东卷文-18 解-面面垂直距离