2012-广东卷文-07 单-三视图求体积

本题导读

本题考查三视图的还原，以及半球与圆锥的组合体体积。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()

!

A. $72\pi$　　　　　　　B. $48\pi$　　　　　　　C. $30\pi$　　　　　　　D. $24\pi$

🔍【思路分析】

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几何体为半球（半径 $3$）与倒立圆锥（母线 $5$、高 $4$）拼接，$V=18\pi +12\pi =30\pi$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由三视图：俯视图为圆，正、侧视图均为”上半圆弧 + 下三角”，故几何体上部为半径 $r=3$ 的半球、下部为倒放的圆锥（底面半径 $3$，母线 $5$）。

圆锥的高 $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$。

半球体积 $V_1=\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi \times 27=18\pi$；圆锥体积 $V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 9\times 4=12\pi$。

所以 $V=18\pi +12\pi =30\pi$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由三视图还原组合体；球的体积公式与圆锥体积公式

核心方法：正视图的半圆与三角对应”半球在上、圆锥在下”，用母线与半径勾股求锥高

避坑指南：上半部分是半球（体积 $\frac{2}{3}\pi r^3$），别按整球算成 $\frac{4}{3}\pi r^3$；圆锥是倒立的，高由母线 $5$ 与半径 $3$ 勾股得出 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原与体积计算题，与 2013 年山东卷文第 4 题、2014 年新课标Ⅱ理第 6 题同族。

结论推广：旋转体组合问题中，视图的圆弧对应球面、直线对应锥（柱）面；$r$、母线 $l$、高 $h$ 满足 $h^2+r^2=l^2$。

方法推广：三视图体积题先判”每一个视图各对应哪块几何体”，把组合体拆成基本体分别求积再相加（或相减）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥
• 2014-新课标II卷理-06 单-由三视图还原几何体
• 2013-重庆卷理-05 单-空间几何体的三视图与直观图