2007-广东卷文-18 解-最小二乘回归与节能预测

本题导读

本题考查散点图。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$（吨）与相应的生产能耗 $y$（吨标准煤）的几组对照数据.

$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$； （3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：$3\times 2.5+4\times 3+5\times 4+6\times 4.5=66.5$）

🔍【思路分析】

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1. (1) 以 $x$ 为横轴、$y$ 为纵轴描出四个点 $(3,2.5)$，$(4,3)$，$(5,4)$，$(6,4.5)$。
2. (2) $\bar{x}=4.5$，$\bar{y}=3.5$；$\sum x_i^2=9+16+25+36=86$，$\sum x_i{y}_i=66.5$。
3. $\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-4\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-4{\bar{x}}^2}=\frac{66.5-63}{86-81}=\frac{3.5}{5}=0.7$。
4. $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=3.5-0.7\times 4.5=0.35$，回归方程 $\hat{y}=0.7x+0.35$。
5. (3) $x=100$ 代入得 $\hat{y}=70.35$，降低 $90-70.35=19.65$ 吨。

✅【答案】

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（1）见解析；（2）$\hat{y}=0.7x+0.35$；（3）预测降低 19.65 吨标准煤

✍【详细解析】

Abstract

（1）散点图是以产量 $x$ 为横轴、生产能耗 $y$ 为纵轴的平面直角坐标系中的四个点 $(3,2.5)$，$(4,3)$，$(5,4)$，$(6,4.5)$（描点即得）． （2）$\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5$，$\bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5$． $\sum _{i=1}^4{x}_i{y}_i=3\times 2.5+4\times 3+5\times 4+6\times 4.5=66.5$，$\sum _{i=1}^4{x}_i^2=9+16+25+36=86$． 由最小二乘法，$\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-4\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-4{\bar{x}}^2}=\frac{66.5-4\times 4.5\times 3.5}{86-4\times 4.5^2}=\frac{66.5-63}{86-81}=\frac{3.5}{5}=0.7$． $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=3.5-0.7\times 4.5=0.35$． 故线性回归方程为 $\hat{y}=0.7x+0.35$． （3）当 $x=100$ 时，回归方程预测生产能耗为 $\hat{y}=0.7\times 100+0.35=70.35$ 吨标准煤． 与技改前的 90 吨标准煤相比，预测降低 $90-70.35=19.65$ 吨标准煤．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：最小二乘回归与节能预测

核心方法：$\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}=\frac{3.5}{5}=0.7$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$

避坑指南：参考数值 $\sum x_i{y}_i=66.5$ 直接用；预测值 $70.35$ 是能耗估计，降低量与 90 相减为 $19.65$ 吨，别把预测值当降低量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最小二乘法建立回归方程是统计解答题经典考法，2011 广东文 13 填空版同源

结论推广：$\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}$，$\hat{a}$ 过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$

方法推广：回归预测三步：求 $\hat{b}$、$\hat{a}$ 写方程、代 $x$ 算预测值并作差

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练(Links)

• 2007-广东卷理-17 解-回归方程实际预测应用
• 2011-广东卷文-13 填-回归预测
• 2011-安徽卷文-20 解-回归直线方程与预测
• 2015-新课标I卷文-19 解-回归分析