2007-广东卷理-17 解-回归方程实际预测应用

本题导读

本题考查统计中的线性回归分析。第一问要求根据表格点对描出散点图；第二问利用最小二乘法公式计算回归系数 $\hat{b}$ 与 $\hat{a}$，确定回归方程；第三问代入特定产量预测能耗，通过减法对比计算技术改造后降低的能耗。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$ (吨) 与相应的生产能耗 $y$ (吨标准煤) 的几组对照数据.

\hline x & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 2.5 & 3 & 4 & 4.5 \\ \hline \end{array}$$ (1) 请画出上表的散点图； (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$； (3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据 (2) 求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值: $3 \times 2.5 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 4.5 = 66.5$)

🔍【思路分析】

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1. 第一问：在直角坐标系中，将 $(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5)$ 四个点描出即可。
2. 第二问：

• 计算样本平均数 $\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}$ 和 $\bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$。
• 利用最小二乘法回归系数公式求 $\hat{b}$： $\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}$。
• 依据样本中心点满足回归方程，求出截距 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$。

3. 第三问：

• 将 $x=100$ 代入回归方程，计算出技改后的预测能耗 ${\hat{y}}_{100}$。

• 用技改前的实际能耗 $90$ 减去预测能耗 ${\hat{y}}_{100}$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）以产量 $x$ 为横坐标，生产能耗 $y$ 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点 $(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5)$。

（2）根据图表数据，计算样本平均数： $\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=\frac{18}{4}=4.5$ $\bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=\frac{14}{4}=3.5$

计算公式分母所需的平方和： ${\sum }_{i=1}^4{x}_i^2=3^2+4^2+5^2+6^2=9+16+25+36=86$ 已知已知参考数值，分子中的乘积和为： ${\sum }_{i=1}^4{x}_i{y}_i=3\times 2.5+4\times 3+5\times 4+6\times 4.5=66.5$

套用最小二乘法中回归斜率 $\hat{b}$ 的计算公式： $\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{x}_i{y}_i-4\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^4{x}_i^2-4{\bar{x}}^2}=\frac{66.5-4\times 4.5\times 3.5}{86-4\times 4.5^2}=\frac{66.5-63}{86-81}=\frac{3.5}{5}=0.7$

由于回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$， 求解截距 $\hat{a}$： $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=3.5-0.7\times 4.5=3.5-3.15=0.35$

所以， $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为： $\hat{y}=0.7x+0.35$

（3）将产量 $x=100$ 吨代入求得的线性回归方程中，预测技改后的生产能耗： $\hat{y}=0.7\times 100+0.35=70+0.35=70.35\text{ 吨标准煤}$

已知技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤， 进行减法运算，计算降低的能耗： $\Delta y=90-70.35=19.65\text{ 吨标准煤}$

答：预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低了 $19.65$ 吨标准煤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算术平均数计算、线性回归系数 $\hat{b},\hat{a}$ 的经典最小二乘公式演练、用回归方程点预测。
2. 核心方法：公式代入法。
3. 避坑指南：

• 统计大题属于送分题，但运算量大，极易在繁琐的小数加减乘除中算错。

• 记住回归斜率公式的等价变形： $\hat{b}=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}$， 这比带括号的差乘公式更便于直接展开计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修三第三章《概率》及选修2-3第三章《统计案例》中的线性回归基础大题。

2. 结论推广: 线性回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 恒通过中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。这一性质在已知一条回归直线反求样本平均数或参数的大题中具有一票否决的妙用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-19 解-线性回归