2007-广东卷理-05 单-一元一次不等式解法

本题导读

本题考查等差/二次求和数列中通项公式与前 $n$ 项和公式的互化特征。核心在于利用经典公式 $a_k=S_k-S_{k-1}$ 推导求出第 $k$ 项的解析式，再解一元一次不等式组锁定正整数 $k$ 的唯一解。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-9n$，第 $k$ 项满足 $5<a_k<8$，则 $k=$ ()

A. 9　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 7　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $S_n$ 求解通项公式 $a_n$：

• 题目需要用到 $a_k$，已知求和公式 $S_n=n^2-9n$。
• 当 $n\ge 2$ 时，通项满足： $a_n=S_n-S_{n-1}$。
• 代入计算： $a_n=(n^2-9n)-\left[(n-1{)}^2-9(n-1)\right]$，化简得出 $a_n=2n-10$。

2. 建立关于 $k$ 的不等式组：

• 将通项公式中的自变量替换为 $k$： $a_k=2k-10$。
• 依据题干条件建立夹逼不等式： $5<2k-10<8$。

3. 求解并截取正整数解：各项同加 10 后除以 2，在得出的开区间内挑出唯一的正整数 $k$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：已知数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n=n^2-9n$。 由于要求的项数满足 $k$ 的备选选项均大于 2， 我们直接在 $n\ge 2$ 的通用大前提下，利用前 $n$ 项和与通项的递推互化公式求解通项 $a_n$： $a_n=S_n-S_{n-1}$

将求和多项式代入上式中展开： $a_n=(n^2-9n)-\left[(n-1{)}^2-9(n-1)\right]$ $a_n=n^2-9n-\left(n^2-2n+1-9n+9\right)$ $a_n=n^2-9n-n^2+11n-10$ 合并二次方项与一次方项，化简归拢可得通项公式为： $a_n=2n-10$

将第 $k$ 项的自变量 $k$ 代入通项公式中，得： $a_k=2k-10$

根据题干给出的已知限制边界 $5<a_k<8$， 建立关于 $k$ 的一元一次不等式组： $5<2k-10<8$

不等式各项同时加上 10，以孤立含 $k$ 的项： $5+10<2k<8+10⟹15<2k<18$

各项同时除以正数 2，求得变量 $k$ 的连续值域区间为： $\frac{15}{2}<k<\frac{18}{2}⟹7.5<k<9$

因为在数列中，项数标号 $k$ 必须强制属于正整数集（即 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）， 观察开区间 $(7.5,9)$，内部包含的唯一正整数有且仅有： $k=8$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 求 $a_n$ 核心递推技术、项数 $k$ 的正整数隐性红线限制。
2. 核心方法：公式代入化简法、整数夹逼锁定法。
3. 避坑指南：

• 此题存在一个极速口算秒杀的特征结论：常数项为 0 的二次求和多项式 $S_n=A{n}^2+Bn$ 必然对应等差数列，其通项公式恒为 $a_n=2An+(B-A)$。

• 套用此秒杀模型，由 $S_n=1\cdot n^2-9n⟹A=1,B=-9$。直接口算得出 $a_n=2(1)n+(-9-1)=2n-10$。考场上利用该结论可实现 5 秒钟直达通项， 瞬间省去全部展开化简的繁琐步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于圆锥曲线与数列板块的基础常考题型，直接源自人教 A 版必修五第二章《数列》中关于等差数列前 $n$ 项和性质的复习课后习题。

2. 结论推广: 若 $S_n=A{n}^2+Bn+C$，当且仅当 $C=0$ 时，该数列从第一项起即为等差数列；若 $C\ne 0$，则该数列从第二项起才服从等差规律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-04 单-数列综合
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列