2011-大纲卷理-04 单-数列综合

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前n项和，以及数列项与和的关系。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 设 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_1=1$，公差 $d=2$，$S_{k+2}-S_k=24$，则 $k=$ ()

A. $8$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用前 $n$ 项和性质化简已知式：$S_{k+2}-S_k=a_{k+1}+a_{k+2}$。
2. 由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 将 $a_{k+1}$ 与 $a_{k+2}$ 用关于 $k$ 的一次式表达。
3. 建立方程求出 $k$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由前 $n$ 项和的定义知： $S_{k+2}-S_k=a_{k+1}+a_{k+2}=24$。 因为数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，$a_1=1$，$d=2$， 所以其通项公式为： $a_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$。 因此： $a_{k+1}=2(k+1)-1=2k+1$， $a_{k+2}=2(k+2)-1=2k+3$。 代入得： $(2k+1)+(2k+3)=24⟹4k+4=24⟹4k=20⟹k=5$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列通项公式及 $S_{n+m}-S_n$ 的拆项转化。
• 核心方法：将前 $n$ 项和之差转化为项的和，避免带入二次和公式增加计算量。
• 避坑指南：避免死套求和公式进行二次多项式繁琐计算；注意 $S_{k+2}-S_k$ 包含的是第 $k+1$ 和第 $k+2$ 两项。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：考查等差数列的线性离散本质，属于基本量运算的基础模型。
• 结论推广：在等差数列中，$S_{k+m}-S_k=m{a}_{k+\frac{m+1}{2}}$，本题中 $S_{k+2}-S_k=2a_{k+1.5}=2(a_{k+1}+d/2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和