2007-广东卷理-14 填-绝对值不等式解法

本题导读

本题考查含绝对值函数的求值及绝对值不等式的解法。第一空直接代入自变量进行算术运算；第二空通过去掉绝对值符号或者利用分段讨论法求解自变量的不等式区间。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 设函数 $f(x)=|2x-1|+x+3$，则 $f(-2)=$________；若 $f(x)\le 5$，则 $x$ 的取值范围是________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：求值：将 $x=-2$ 整体代入 $f(x)$ 解析式，直接计算。
2. 第二空：解不等式：

• 建立不等式： $|2x-1|+x+3\le 5⟹|2x-1|\le 2-x$。

• 采用等价转化法求解：根据 $|A|\le B⟺-B\le A\le B$ 且 $B\ge 0$。

• 联立不等式组： $\{\begin{array}{l}2x-1\le 2-x\\ 2x-1\ge -(2-x)\end{array}$，解出 $x$ 的范围。

✅【答案】

点击查看答案

$6$ ； $[-1,1]$ （或 $\{x|-1\le x\le 1\}$）

✍【详细解析】

Abstract

解：* 第一空：计算 $f(-2)$ 将 $x=-2$ 直接代入函数解析式中： $f(-2)=|2\times (-2)-1|+(-2)+3=|-4-1|-2+3=|-5|+1=5+1=6$

• 第二空：解不等式 $f(x)\le 5$ 代入解析式建立不等式： $|2x-1|+x+3\le 5$ 将不含绝对值的项移到不等式右侧进行孤立： $|2x-1|\le 2-x$

根据绝对值不等式的基本代数性质，上式等价于去绝对值后的夹逼不等式组： $-(2-x)\le 2x-1\le 2-x$ 拆解为两个一元一次不等式组联合求解： $\{\begin{array}{l}2x-1\le 2-x\text{(1)}\\ 2x-1\ge x-2\text{(2)}\end{array}$

• 解不等式①： $2x+x\le 2+1⟹3x\le 3⟹x\le 1$
• 解不等式②： $2x-x\ge -2+1⟹x\ge -1$

取上述两个范围的交集，可得自变量 $x$ 的取值范围为： $-1\le x\le 1$

用区间或集合形式表达均可。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值算术基本功、 $|A|\le B⟺-B\le A\le B$ 这一无需分类讨论的通用解不等式模型。
2. 核心方法：等价公式转化法、零点分段讨论法（备用）。
3. 避坑指南：

• 求解 $|2x-1|\le 2-x$ 时，很多同学盲目两边平方，这需要右侧 $2-x\ge 0⟹x\le 2$ 的刚性约束打底。使用夹逼公式法最安全， 且天然包含了右侧非负的隐性限制， 能有效避免因粗心丢掉边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值函数求值、绝对值不等式的解法是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是绝对值函数求值、绝对值不等式的解法的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用分段讨论法、代数移项零点化简法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-浙江卷文-11 填-函数代入求值
• 2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式