2007-广东卷理-15 填-解直角三角形相似三角形

本题导读

本题考查圆的切线性质、弦切角定理以及直角三角形的边角计算。第一空利用直角三角形各边比例确定特殊角，再通过弦切角定理转化求得；第二空结合垂直条件建立相似或勾股方程进行求解。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 如图所示，圆 $O$ 的直径 $AB=6$， $C$ 为圆周上一点， $BC=3$. 过点 $C$ 作圆的切线 $l$，过 $A$ 做 $l$ 的垂线 $AD$， $AD$ 分别与直线 $l$，圆交于点 $D，E$，则 $\angle DAC=$________，线段 $AE$ 的长为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：求 $\angle DAC$：

• 连接 $BC$。因为 $AB$ 是直径，由圆周角定理知 $\angle ACB=90^{\circ }$。
• 在直角 $△ABC$ 中， $AB=6,BC=3⟹\sin \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}⟹\angle CAB=30^{\circ }$。则另一锐角 $\angle B=60^{\circ }$。
• 直线 $l$ 是切线，根据弦切角定理， 弦切角 $\angle DCA=\angle B=60^{\circ }$。
• 已知 $AD\perp l⟹\angle ADC=90^{\circ }$。
• 在直角 $△ADC$ 中， $\angle DAC=90^{\circ }-\angle DCA=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。

2. 第二空：求 $AE$ 的长：

• 连接 $OC,OE$。或者直接在三角形中找几何关系：

• 先求出直角 $△ABC$ 的另一边 $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。

• 在直角 $△ADC$ 中，已知 $\angle DAC=30^{\circ }$：

• $AD=AC\cdot \cos 30^{\circ }=3\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$。

• $CD=AC\cdot \sin 30^{\circ }=3\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

• 根据圆的切割线定理（或割线定理）：自圆外一点 $D$ 引割线 $DAE$ 和切线 $DC$，有 $D{C}^2=DD\cdot DE⟹C{D}^2=DE\cdot DA$。

• 由此可算得 $DE$， 最后利用减法 $AE=AD-DE$ 提取答案。

✅【答案】

点击查看答案

$30^{\circ }$ ； $3$

✍【详细解析】

Abstract

解：* 第一空：求解 $\angle DAC$ 连接 $BC$。因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角： $\angle ACB=90^{\circ }$ 在直角 $△ABC$ 中，已知直径 $AB=6$， 弦长 $BC=3$。 $\sin \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 由于 $\angle CAB$ 为直角三角形内角， 故： $\angle CAB=30^{\circ },\angle B=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$ 根据勾股定理，计算出直角边 $AC$ 的长： $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$

因为直线 $l$ 是过点 $C$ 的圆之切线， $AC$ 为过切点的弦，根据弦切角定理，弦切角严格等于它所夹的弧所对的圆周角： $\angle DCA=\angle B=60^{\circ }$ 又已知 $AD\perp l$，即在直角 $△ADC$ 中， $\angle ADC=90^{\circ }$。 综合直角三角形锐角互余性质： $\angle DAC=90^{\circ }-\angle DCA=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$

• 第二空：求解线段 $AE$ 的长 在直角 $△ADC$ 中，已知斜边 $AC=3\sqrt{3}$， 且已求得顶角 $\angle DAC=30^{\circ }$。 求出直角边 $AD$ 与 $CD$ 的长度： $AD=AC\cdot \cos 30^{\circ }=3\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}$ $CD=AC\cdot \sin 30^{\circ }=3\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

因为直线 $D-E-A$ 是自圆外一点 $D$ 引出的割线， $DC$ 为切线。 根据平面几何中的切割线定理，切线长的平方等于该点到割线两交点距离的乘积： $C{D}^2=DE\cdot AD$ 将已知数据 $CD=\frac{3\sqrt{3}}{2},AD=\frac{9}{2}$ 代入公式中： ${\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2=DE\times \frac{9}{2}⟹\frac{27}{4}=\frac{9}{2}DE⟹DE=\frac{27}{4}\times \frac{2}{9}=\frac{3}{2}$

观察图形，整个线段由两部分组成（ $AD=AE+DE$）， 通过简单的减法运算求出目标线段 $AE$ 的长度： $AE=AD-DE=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=\frac{6}{2}=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直径所对圆周角为 $90^{\circ }$、弦切角定理（ $\angle DCA=\angle B$）、圆的几何幂定理（切割线定理 $C{D}^2=DE\cdot AD$）。
2. 核心方法：几何边角联动转换法。
3. 避坑指南：

• 第二空求 $AE$ 时，其实存在一个不易发现的超级几何秒杀捷径： 连接 $CE$。因为 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且 $\angle ADC=90^{\circ }$， 容易证明 $△ADC\backsim △ACB$。 因为 $\angle DAC=30^{\circ }$， 在圆中圆周角 $\angle AEC=\angle B=60^{\circ }⟹△AEC$ 也是含 $30^{\circ },60^{\circ }$ 的直角三角形。 由弦切角性质易证 $△ACE$ 为等腰三角形（ $AE=BC=3$）。
• 考场上如果不熟练切割线定理， 顺着“连接圆周上未知点构建相似/等腰”的辅助线第一本能去想， 往往能发现直接读出答案的精妙对称结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦切角定理、圆周角定理（直径所对的圆周角）是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是弦切角定理、圆周角定理（直径所对的圆周角）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何角度计算法、射影定理与勾股定理结合法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-15 填-圆幂定理求线段
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质