2013-天津卷理-13 填-切割线定理

本题导读

本题考查圆，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 如图，$△ABC$ 为圆的内接三角形，$BD$ 为圆的弦，且 $BD\parallel AC$.过点 $A$ 做圆的切线与 $DB$ 的延长线交于点 $E$，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $F$.若 $AB=AC,AE=6,BD=5$，则线段 $CF$ 的长度为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 运用切割线定理：由于 $AE$ 是圆的切线，$ED$ 是割线，利用 $A{E}^2=EB\cdot ED$ 可以求出 $EB$ 的长度。

2. 角度转化与平行关系：

   • 利用弦切角定理判定 $\angle EAB=\angle ACB$。

   • 结合 $AB=AC$ 导出 $\angle ABC=\angle ACB$，从而得到 $\angle EAB=\angle ABC$，证明 $EA\parallel BC$。

3. 确定几何构造：通过 $EA\parallel BC$ 和 $BD\parallel AC$ 证明四边形 $EBCA$ 是平行四边形，从而得到 $BC$ 和 $AC$ 的长度。

4. 利用相似三角形求解：由 $BD\parallel AC$ 可知 $△ACF\sim △DBF$，建立比例式求解 $CF$。

✅【答案】

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$\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用切割线定理求 $EB$

因为 $AE$ 是圆的切线，$EBD$ 是割线，由切割线定理得：

$A{E}^2=EB\cdot ED$

设 $EB=x$，已知 $AE=6,BD=5$，则 $ED=x+5$。

$6^2=x(x+5)⟹x^2+5x-36=0$

解得 $x=4$ 或 $x=-9$（舍去）。故 $EB=4$。

第二步：证明平行四边形并求边长

因为 $AE$ 是切线，根据弦切角定理，$\angle EAB=\angle ACB$。

又在 $△ABC$ 中，$AB=AC$，故 $\angle ACB=\angle ABC$。

所以 $\angle EAB=\angle ABC$，由此可得 $EA\parallel BC$。

又已知 $BD\parallel AC$，即 $EB\parallel AC$。

所以四边形 $EBCA$ 是平行四边形。

根据平行四边形对边相等性质：

• $BC=AE=6$

• $AC=EB=4$

第三步：利用相似三角形求 $CF$

因为 $BD\parallel AC$，所以 $△ACF\sim △DBF$。

由相似三角形对应边成比例得：

$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BD}=\frac{4}{5}$

设 $CF=4k,BF=5k$。

因为 $BC=CF+BF=6$，所以：

$4k+5k=6⟹9k=6⟹k=\frac{2}{3}$

所以 $CF=4\times \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$。

故填入答案为：$\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆幂定理（切割线定理）；弦切角定理 $\angle EAB=\text{对弧所对圆周角}$；相似三角形的比例关系。

核心方法：“几何桥梁法”。本题中 $\angle ACB$ 是核心桥梁，它连接了切线角度和等腰三角形底角，从而推导出关键的平行关系。

避坑指南：注意 $A{E}^2=EB\cdot ED$ 中 $ED$ 是全长 $EB+BD$，而非单独的 $BD$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆周角定理、等腰三角形性质、平行四边形判定。

结论推广：在圆内接四边形或三角形中，若出现平行线与切线，通常伴随着相似三角形或等腰梯形的构造。

方法推广：“几何桥梁法”。本题中 $\angle ACB$ 是核心桥梁，它连接了切线角度和等腰三角形底角，从而推导出关键的平行关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦