2007-新课标卷文-07 单-抛物线的焦半径公式

本题导读

本题考查抛物线的焦半径公式，以及等差数列的等差中项。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$P_3(x_3,y_3)$ 在抛物线上，且 $2x_2=x_1+x_3$，则有 ()

A. $|F{P}_1|+|F{P}_2|=|F{P}_3|$　　　　　　　　B. $|F{P}_1{|}^2+|F{P}_2{|}^2=|F{P}_3{|}^2$

C. $2|F{P}_2|=|F{P}_1|+|F{P}_3|$　　　　　　　　D. $|F{P}_2{|}^2=|F{P}_1|\cdot |F{P}_3|$

🔍【思路分析】

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把焦半径 $|F{P}_i|=x_i+\frac{p}{2}$ 代入，$x_2$ 成等差立即推出 $|F{P}_2|$ 成等差。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线的定义，$|F{P}_i|=x_i+\frac{p}{2}$（$i=1,2,3$）． 于是 $2|F{P}_2|=2\left(x_2+\frac{p}{2}\right)=2x_2+p=\left(x_1+\frac{p}{2}\right)+\left(x_3+\frac{p}{2}\right)=|F{P}_1|+|F{P}_3|$． 故选 C．（$|F{P}_1{|}^2+|F{P}_2{|}^2$ 与 $|F{P}_3{|}^2$ 之间并无必然等式，A、B、D 均不成立。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦半径公式

核心方法：焦半径 $|FP|=x_0+\frac{p}{2}$（开口向右）

避坑指南：焦半径与横坐标线性相关，故 $x$ 成等差 $⟺|FP|$ 成等差。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦半径公式是抛物线定义的直接推论，历年反复考查。

结论推广：$y^2=2px$ 上点到焦点距离等于到准线距离 $x_0+\frac{p}{2}$。

方法推广：焦距离散点问题先全部翻译成横坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2014-新课标I卷文-10 单-抛物线焦半径
• 2013-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦