2013-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查抛物线的焦点与准线，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $|AF|=3|BF|$，则 $l$ 的方程为()

A. $y=x-1$ 或 $y=-x+1$　　　　　　　　B. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$ 或 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)$

C. $y=\sqrt{3}(x-1)$ 或 $y=-\sqrt{3}(x-1)$　　　　　D. $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)$ 或 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)$

🔍【思路分析】

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1. 焦点 $F(1,0)$，设 $l:x=my+1$（含竖直情形），与 $y^2=4x$ 联立得 $y^2-4my-4=0$。
2. 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则 $y_1{y}_2=-4$，且 $y_2=-3y_1$（由 $|AF|=3|BF|$ 与 $y$ 的符号相反）。
3. 解出 $m$ 即可。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 中 $p=2$，焦点 $F(1,0)$。设直线 $l$ 过 $F$：$x=my+1$，与 $y^2=4x$ 联立： $y^2-4my-4=0.$ 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，由韦达定理 $y_1+y_2=4m,y_1{y}_2=-4.$ 因为 $A$、$B$ 在焦点两侧，$y_1$、$y_2$ 异号。由 $|AF|=3|BF|$ 及抛物线的定义（焦半径 $=$ 点到准线的距离） $|AF|=x_1+1,|BF|=x_2+1,$ 故 $x_1+1=3(x_2+1)$，即 $x_1=3x_2+2$。 又由 $y^2=4x$ 得 $x=\frac{y^2}{4}$，代入 $y_1{y}_2=-4$ 可知 $x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{16}=1$。 联立 $x_1=3x_2+2$ 与 $x_1{x}_2=1$：由后者 $x_1=\frac{1}{x_2}$，代入得 $\frac{1}{x_2}=3x_2+2$，即 $3x_2^2+2x_2-1=0$，解得 $x_2=\frac{1}{3}$（$x_2=-1$ 舍去），故 $x_1=3$。 于是 $y_1^2=4x_1=12$，$y_1=\pm 2\sqrt{3}$；$y_2^2=4x_2=\frac{4}{3}$，$y_2=\mp \frac{2\sqrt{3}}{3}$，符合 $|y_1|=3|y_2|$。 直线过 $F(1,0)$ 与 $(3,2\sqrt{3})$，斜率 $k=\frac{2\sqrt{3}}{3-1}=\sqrt{3}$；由对称性另一条斜率为 $-\sqrt{3}$，故 $l:y=\sqrt{3}(x-1)\text{或}y=-\sqrt{3}(x-1).$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点弦问题

核心方法：设直线方程与抛物线联立，用 $x_1{x}_2$ 与焦半径公式转化 $|AF|=3|BF|$

避坑指南：抛物线 $y^2=4x$ 的焦点是 $(1,0)$ 而非 $(0,1)$，准线为 $x=-1$；设直线时要以 $x=1$ 为过点，写成 $y=k(x-1)$ 的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的焦点弦（全国卷高频）。

结论推广：抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，通径长为 $2p$；焦点弦满足 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$。

方法推广：焦点弦问题两步：设过焦点的直线并与曲线联立（韦达定理给 $x_1+x_2$、$x_1{x}_2$），再用焦半径或两点间距离公式翻译长度比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦
• 2013年新课标Ⅱ理-10