2007-新课标卷文-12 单-标准差的意义与比较

本题导读

本题考查标准差的意义，以及方差的计算与比较。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 $20$ 次，三人的测试成绩如下表：

环数	7	8	9	10
甲的频数	5	5	5	5
乙的频数	6	4	4	6
丙的频数	4	6	6	4

$s_1$，$s_2$，$s_3$ 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 ()

A. $s_3>s_1>s_2$　　　B. $s_2>s_1>s_3$　　　C. $s_1>s_2>s_3$　　　D. $s_2>s_3>s_1$

🔍【思路分析】

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三人期望都是 $8.5$；偏离 $8.5$ 的平方和：甲均匀（$1.5^2\times 20$），乙两端多（更大），丙中间多（更小），直接比较或算方差。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

三人成绩的期望均为 $8.5$．方差由偏离平方和决定： 甲：$\frac{5(1.5^2+0.5^2\times 2+1.5^2)}{20}$，即均匀分布，$s_1^2=1.25$； 乙：两端（$7$、$10$ 环）频数 $6$ 大于中间 $4$，偏离更大，$s_2^2=1.45$； 丙：中间（$8$、$9$ 环）频数 $6$ 大于两端 $4$，偏离最小，$s_3^2=1.05$． （验证乙：$\frac{6\times 2.25+4\times 0.25\times 2+6\times 2.25}{20}=\frac{27+2+27}{20}\times \frac{1}{2}$——按频数直算 $E(X^2)=\frac{6\times 49+4\times 64+4\times 81+6\times 100}{20}=73.7$，$s_2^2=73.7-72.25=1.45$；同法甲 $73.5-72.25=1.25$，丙 $73.3-72.25=1.05$．） 故 $s_2>s_1>s_3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：标准差的意义与比较

核心方法：期望相同比离散程度：分布越集中方差越小

避坑指南：三人期望都是 $8.5$，比较的是偏离平方和；“频数对称”不等于”方差相等”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：标准差是统计模块的核心数字特征。

结论推广：两端频数大方差大，中间频数大方差小（期望相同时）。

方法推广：先看期望是否相同，再按偏离分布快速判断，必要时算方差验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练(Links)

• 2013-湖北卷文-12 填-平均数与标准差
• 全国卷I文-02 单-统计特征