2007-新课标卷文-16 填-等差数列的基本量

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_4+a_6=6$，其前 $5$ 项和 $S_5=10$，则其公差 $d=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 等差中项：$a_4+a_6=2a_5$，故 $a_5=3$。
2. $S_5=5a_3$（中项和公式），故 $a_3=2$；$d=\frac{a_5-a_3}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列性质 $a_4+a_6=2a_5$，故 $a_5=3$． 又 $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=5a_3=10$，得 $a_3=2$． 公差 $d=\frac{a_5-a_3}{2}=\frac{3-2}{2}=\frac{1}{2}$． （验证：$a_1=1$，$a_4=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，$a_6=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$，$a_4+a_6=6$ ✓）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量

核心方法：中项性质 $a_4+a_6=2a_5$、$S_5=5a_3$

避坑指南：$S_5=5a_3$ 比展开 $\frac{5(a_1+a_5)}{2}$ 更快；求 $d$ 用 $\frac{a_5-a_3}{2}$ 两步到位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中项与前 $n$ 项和公式是数列模块的基本功。

结论推广：奇数项和 $S_{2m+1}=(2m+1)a_{m+1}$。

方法推广：凡见奇数项和，优先用中项公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和