2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项

本题导读

本题考查等差数列，以及等差数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_{m-1}=-2,S_m=0,S_{m+1}=3$，则 $m=$()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化通项：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$，由已知条件直接求出 $a_m$ 和 $a_{m+1}$。
2. 求公差：根据等差数列定义 $d=a_{m+1}-a_m$ 计算公差。
3. 利用 $S_m$ 建立方程：
   • 方式一：利用 $S_m=\frac{m(a_1+a_m)}{2}=0$ 求出 $a_1$。
   • 方式二：利用通项公式 $a_m=a_1+(m-1)d$ 联立求解 $m$。
4. 另解思路：利用等差数列性质，数列 $\{\frac{S_n}{n}\}$ 也是等差数列（若 $a_1\ne 0$）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求项 根据 $a_n=S_n-S_{n-1}$： $a_m=S_m-S_{m-1}=0-(-2)=2$； $a_{m+1}=S_{m+1}-S_m=3-0=3$。

第二步：求公差 $d$ $d=a_{m+1}-a_m=3-2=1$。

第三步：建立关于 $m$ 的方程 由等差数列前 $n$ 项和公式 $S_m=\frac{m(a_1+a_m)}{2}=0$。 因为 $m$ 是项数，$m>0$，所以 $a_1+a_m=0$。 将 $a_m=2$ 代入得：$a_1+2=0⟹a_1=-2$。

再利用通项公式 $a_m=a_1+(m-1)d$： $2=-2+(m-1)\times 1$ $2=-2+m-1$ $m=5$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$a_n$ 与 $S_n$ 的关系（$a_n=S_n-S_{n-1}$）是数列题中最高频的切入点。

核心方法：基本量法。将所有已知量通过公式转化为 $a_1,d,m$ 的方程组求解。

避坑指南：- 注意 $S_m=0$ 且 $m\ne 0$ 时，必有 $a_1+a_m=0$（即首末项互为相反数）。 - 不要混淆 $S_{m-1}$ 与 $a_{m-1}$ 的下标含义。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的性质 $S_n=A{n}^2+Bn$（无常数项的二次函数）。

结论推广：在等差数列中，若 $S_n=0$，则 $a_1+a_n=0$，且该数列关于中心项（或中心两项）对称。

方法推广：等差中项性质法。由于 $a_m,a_{m+1}$ 是相邻项，其差值即为 $d$，这是求公差最快的方法。

🔗【关联脉络】

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