2007-新课标卷文-17 解-解三角形的实际应用（测高）

本题导读

本题考查正弦定理解三角形。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 如图，测量河对岸的塔高 $AB$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$．现测得 $\angle BCD=\alpha$，$\angle BDC=\beta$，$CD=s$，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$，求塔高 $AB$．

🔍【思路分析】

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1. $△BCD$ 中，$\angle CBD=\pi -\alpha -\beta$，正弦定理：$\frac{BC}{\sin \beta }=\frac{CD}{\sin (\alpha +\beta )}$。
2. 塔垂直于地面，仰角 $\theta$ 在 $C$ 处：Rt$△ABC$ 中 $\tan \theta =\frac{AB}{BC}$。

✅【答案】

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$AB=\frac{s\sin \beta \tan \theta }{\sin (\alpha +\beta )}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△BCD$ 中，$\angle CBD=\pi -\alpha -\beta$，由正弦定理 $\frac{BC}{\sin \beta }=\frac{CD}{\sin (\pi -\alpha -\beta )}=\frac{s}{\sin (\alpha +\beta )},$ 所以 $BC=\frac{s\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$． 塔 $AB$ 垂直于地面，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$，则在 Rt$△ABC$ 中 $\tan \theta =\frac{AB}{BC}$． 故塔高 $AB=BC\tan \theta =\frac{s\sin \beta \tan \theta }{\sin (\alpha +\beta )}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形的实际应用（测高）

核心方法：正弦定理求底边 + 直角三角形收尾

避坑指南：仰角在测点 $C$ 处、塔在 $B$ 处：直角三角形是 $ABC$ 而非 $ABD$；分清哪个角对着哪条边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理测高是解三角形应用题的典型范式。

结论推广：$AB=\frac{s\sin \beta \tan \theta }{\sin (\alpha +\beta )}$ 中三个测量量各司其职。

方法推广：先在斜三角形中求可达线段，再在直角三角形中算高度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2014-新课标I卷文-16 填-解三角形测高
• 2009-辽宁卷文-18 解-仰角测量解三角形