2009-辽宁卷文-18 解-仰角测量解三角形

本题导读

考查解三角形应用。由 $\angle DAC=\angle ADC=30^{\circ }$ 得 $CD=AC$，$CB$ 平分顶角即垂直平分 $AD$，故 $BD=BA$；再用正弦定理求 $AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\approx 0.33$ km。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 都在同一个与水平面垂直的平面内，$B$，$D$ 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 $A$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角分别为 $75^{\circ }$，$30^{\circ }$，于水面 $C$ 处测得 $B$ 点和 $D$ 点的仰角均为 $60^{\circ }$，$AC=0.1$ km.试探究图中 $B$，$D$ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 $B$，$D$ 的距离（计算结果精确到 $0.01$ km，$\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sqrt{6}\approx 2.449$）.

🔍【思路分析】

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1. $△ACD$ 中 $\angle DAC=30^{\circ }$，$\angle ACD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$，故 $\angle ADC=30^{\circ }$，$CD=AC$，为等腰三角形。
2. $CB$ 平分顶角 $\angle ACD$，也是底边 $AD$ 的垂直平分线，故 $BD=BA$。
3. $△ABC$ 中 $\angle BAC=105^{\circ }$，$\angle ABC=15^{\circ }$，正弦定理：$AB=\frac{AC\sin 60^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}$。
4. $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$AB=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\approx 0.33$ km。

✅【答案】

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$BD=BA$；$BD\approx 0.33$ km

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ACD$ 中，$\angle DAC=30^{\circ }$；在 $C$ 点，射线 $CA$ 与 $CD$ 的夹角为 $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$，即 $\angle ACD=120^{\circ }$。 因而 $\angle ADC=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }=\angle DAC$，所以 $CD=AC=0.1$ km，$△ACD$ 是等腰三角形。 又 $\angle BCA=60^{\circ }$，$\angle BCD=60^{\circ }$，故 $CB$ 平分顶角 $\angle ACD$。等腰三角形顶角平分线也是底边的垂直平分线，而 $B$ 在这条平分线上，所以 $BD=BA$。 在 $△ABC$ 中，$\angle BAC=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$，$\angle BCA=60^{\circ }$，$\angle ABC=15^{\circ }$。 由正弦定理：$\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 15^{\circ }}$，故 $AB=\frac{0.1\sin 60^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}$。 $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，所以 $AB=\frac{0.1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{0.2\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$ km。 代入近似值：$BD=AB\approx \frac{3\times 1.414+2.449}{20}=\frac{6.691}{20}\approx 0.33$ km。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与解三角形应用

核心方法：等腰三角形判定 + 正弦定理

避坑指南：$CB$ 平分等腰 $△ACD$ 顶角，得垂直平分线，$BD=BA$ 是全题枢纽；$\angle BAC=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$ 是 $75^{\circ }$ 仰角在 $A$ 处的补角，别直接用 $75^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测量型解三角形（仰角 + 两测点）是应用题常客。

结论推广：$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$。

方法推广：$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 要会现场推；最后按题目要求代入近似值并保留两位小数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形