2007-新课标卷文-18 解-面面垂直与空间动点恒垂直

本题导读

本题考查面面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 如图，$A$，$B$，$C$，$D$ 为空间四点．在 $△ABC$ 中，$AB=2$，$AC=BC=\sqrt{2}$，等边三角形 $ADB$ 以 $AB$ 为轴运动． （1）当平面 $ADB\perp$ 平面 $ABC$ 时，求 $CD$； （2）当 $△ADB$ 转动时，是否总有 $AB\perp CD$？证明你的结论．

🔍【思路分析】

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1. $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2\Rightarrow \angle ACB=90^{\circ }$，$O$ 为 $AB$ 中点：$CO=AO=1$ 且 $CO\perp AB$；等边三角形中 $DO=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 且 $DO\perp AB$。
2. （1）面面垂直时 $CO\perp$ 面 $ADB$，故 $CO\perp DO$，$CD=\sqrt{1+3}=2$。
3. （2）$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$，两项都与 $\overrightarrow{AB}$ 垂直，数量积恒为 $0$，与转动无关。

✅【答案】

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（1）$CD=2$；（2）总存在 $AB\perp CD$，与 $△ADB$ 的转动位置无关

✍【详细解析】

Abstract

设 $O$ 为 $AB$ 的中点．由 $AC=BC=\sqrt{2}$，$AB=2$，得 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$，所以 $\angle ACB=\frac{\pi }{2}$，$CO$ 是 Rt$△ABC$ 斜边上的中线，$CO=AO=1$，且 $CO\perp AB$． 又 $△ADB$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$DO$ 是其中线和高，所以 $DO\perp AB$，且 $DO=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$． （1）当平面 $ADB\perp$ 平面 $ABC$ 时，两平面交线为 $AB$．$CO\subset$ 平面 $ABC$，$CO\perp AB$，由面面垂直的性质得 $CO\perp$ 平面 $ADB$，从而 $CO\perp DO$． 在 Rt$△COD$ 中，$C{D}^2=C{O}^2+D{O}^2=1+3=4$，故 $CD=2$． （2）总有 $AB\perp CD$．证明：$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$，而 $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OD}\perp \overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}=0-0=0,$ 即无论等边三角形 $ADB$ 转到哪个位置，总有 $AB\perp CD$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直与空间动点恒垂直

核心方法：斜边中线定垂足 + 向量分解证恒成立

避坑指南：“是否总有”类问题要用与位置无关的量（数量积为定值 $0$）来证，逐个位置检验不能作为证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直的性质定理（交线垂直则线面垂直）是本题枢纽。

结论推广：$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$ 分解后逐项与 $\overrightarrow{AB}$ 作数量积。

方法推广：动点恒成立问题优先找不变量：垂直于轴的向量分解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积
• 2010-新课标卷文-18 解-四棱锥垂直与体积