2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱垂直底面，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A}_1$，$D$ 是棱 $A{A}_1$ 的中点.

(1) 证明：平面 $BD{C}_1\perp$ 平面 $BDC$；

(2) 平面 $BD{C}_1$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

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🔍【思路分析】

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(1) $BC\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$ 得 $D{C}_1\perp BC$，又 $\angle ADC=\angle A_{1}D{C}_1=45^{\circ }$ 得 $D{C}_1\perp DC$；(2) $V_1=\frac{1}{2}V$，比 $1:1$。

✅【答案】

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(1) 见解析（$D{C}_1\perp$ 平面 $BDC$） (2) $1:1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 不妨设 $AC=BC=1$，则 $A{A}_1=2$。

$BC\perp AC$，$BC\perp C{C}_1$（侧棱垂直底面），$AC\cap C{C}_1=C$，故 $BC\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。

$D{C}_1\subset$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，故 $D{C}_1\perp BC$。

在矩形 $AC{C}_1{A}_1$ 内：$\angle ADC$ 中 $AD=1$、$AC=1$ 且 $AD\perp AC$，故 $\angle ADC=45^{\circ }$；同理 $\angle A_{1}D{C}_1=45^{\circ }$。

于是 $\angle CD{C}_1=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$，即 $D{C}_1\perp DC$。

$DC\cap BC=C$，故 $D{C}_1\perp$ 平面 $BDC$。又 $D{C}_1\subset$ 平面 $BD{C}_1$，

所以平面 $BD{C}_1\perp$ 平面 $BDC$。

(2) 被平面 $BD{C}_1$ 截出的含 $A$、$C$ 的部分是四棱锥 $B\text{-}DAC{C}_1$：底面为直角梯形 $DAC{C}_1$（$DA\parallel C{C}_1$，$DA=1$，$C{C}_1=2$，高 $AC=1$），面积 $=\frac{1+2}{2}\times 1=\frac{3}{2}$；高为 $B$ 到平面 $AC{C}_1{A}_1$ 的距离 $BC=1$。

$V_1=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}\times 1=\frac{1}{2}$

三棱柱体积 $V=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times 2=1$。

另一部分体积 $V-V_1=\frac{1}{2}$，故两部分体积之比为 $1:1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直、面面垂直的判定；直三棱柱的截面分割与体积

核心方法：线线垂直链条 → $D{C}_1\perp$ 平面 $BDC$；截面部分看成”四棱锥”直接算体积

避坑指南：①(1) 的关键是发现 $\angle ADC=\angle A_{1}D{C}_1=45^{\circ }$（设 $AC=1$ 后一目了然），用”同旁内角”拼出直角；②(2) 被截出的两块是”四棱锥 $B\text{-}DAC{C}_1$“与剩下的多面体，认清形状再算，别按三棱锥硬套。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱面面垂直与截面体积名题，与 2013 年北京卷文第 17 题（线面垂直面面垂直）、2013 年新课标Ⅱ文第 18 题（线面平行与棱锥体积）同族。

结论推广：一般地，矩形 $AC{C}_1{A}_1$ 中 $D$ 为 $A{A}_1$ 中点且 $AC=\frac{1}{2}A{A}_1$ 时，必有 $D{C}_1\perp DC$（等腰直角拼角）。

方法推广：截面分割体积：先判断截面的位置与切出的几何体形状，缺顶的直接算、剩下的用整体减局部。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积