2007-新课标卷文-21 解-直线与圆相交及向量共线

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $x^2+y^2-12x+32=0$ 的圆心为 $Q$，过点 $P(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $Q$ 相交于不同的交点 $A$、$B$． （1）求 $k$ 的取值范围； （2）是否存在常数 $k$，使得向量 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{PQ}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由．

🔍【思路分析】

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1. 圆化标准式 $(x-6{)}^2+y^2=4$；直线 $kx-y+2=0$ 与圆交于两不同点 $⟺$ 圆心距 $d<r$。
2. （2）$Q$ 向直线作垂线，垂足即弦 $AB$ 中点 $M$；$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$，与 $\overrightarrow{PQ}=(6,-2)$ 共线即 $x_M+3y_M=0$，解出的 $k$ 必须回代（1）检验。

✅【答案】

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（1）$-\frac{3}{4}<k<0$；（2）不存在满足条件的常数 $k$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程可化为 $(x-6{)}^2+y^2=4$，圆心 $Q(6,0)$，半径 $2$．直线为 $kx-y+2=0$． （1）直线与圆相交于两个不同点 $⟺$ 圆心到直线的距离小于半径： $\frac{|6k+2|}{\sqrt{k^2+1}}<2⟺(6k+2{)}^2<4(k^2+1)⟺8k(4k+3)<0,$ 所以 $-\frac{3}{4}<k<0$． （2）设弦 $AB$ 的中点为 $M$．由 $QM\perp AB$，$M$ 是点 $Q$ 到直线 $kx-y+2=0$ 的垂足，计算得 $M\left(\frac{6-2k}{k^2+1},\frac{6k+2}{k^2+1}\right).$ 由于 $M$ 是弦 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$；又 $\overrightarrow{PQ}=(6,-2)$，共线条件等价于 $\overrightarrow{OM}$ 与 $(6,-2)$ 共线，即 $x_M+3y_M=0$： $\frac{6-2k+3(6k+2)}{k^2+1}=0⟺16k+12=0⟺k=-\frac{3}{4}.$ 但 $k=-\frac{3}{4}$ 不满足（1）中严格不等式（此时直线与圆相切，只有一个公共点），所以不存在满足条件的常数 $k$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相交及向量共线

核心方法：圆心距判相交 + 垂足定弦中点 + 共线坐标方程

避坑指南：解出的 $k=-\frac{3}{4}$ 恰为（1）中开区间端点，对应相切情形，必须回代检验后才能下”不存在”的结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦中点即圆心到弦的垂足，是圆的几何性质的核心应用。

结论推广：$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ 把向量条件化归为中点坐标。

方法推广：存在性问题解出参数后必须回代前提条件检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆
• 2019-全国卷I文-21 解-圆的方程