2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆

本题导读

解析几何中档题。（1）圆心到直线距离小于半径，解含参不等式；（2）$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=12$ 简明地逼出 $k=1$，此时直线过圆心，$|MN|$ 即直径。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 交于 $M,N$ 两点.

(1) 求 $k$ 的取值范围；

(2) 若 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=12$，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$.

🔍【思路分析】

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1. （1）$l:y=kx+1$，圆心 $(2,3)$、半径 $1$；相交 $⟺$ 距离 $<1$。
2. （2）设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，联立后 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=12$，解出 $k=1$。
3. $k=1$ 时 $l$ 过圆心 $(2,3)$，$|MN|=2r=2$。

✅【答案】

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(1) $\frac{4-\sqrt{7}}{3}<k<\frac{4+\sqrt{7}}{3}$

(2) $|MN|=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 直线 $l:y=kx+1$，即 $kx-y+1=0$. 圆心 $(2,3)$，半径 $r=1$.

$l$ 与 $C$ 交于两点 $⟺$ 圆心到 $l$ 的距离小于半径：

$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{k^2+1}}<1⟹4(k-1{)}^2<k^2+1⟹3k^2-8k+3<0,$

解得 $\frac{4-\sqrt{7}}{3}<k<\frac{4+\sqrt{7}}{3}$.

（2） 设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$. 将 $y=kx+1$ 代入圆的方程：

$(x-2{)}^2+(kx-2{)}^2=1⟹(1+k^2)x^2-(4+4k)x+7=0,$

$x_1{x}_2=\frac{7}{1+k^2},x_1+x_2=\frac{4+4k}{1+k^2}.$

由 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=12$：

$x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=(1+k^2)x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1=12,$

代入得 $7+\frac{4k(1+k)}{1+k^2}+1=12$，即 $\frac{4k+4k^2}{1+k^2}=4$，解得 $k=1$.

此时 $l:x-y+1=0$，圆心 $(2,3)$ 满足 $2-3+1=0$，即圆心在 $l$ 上，故 $MN$ 为直径，

$|MN|=2r=2.$

（$k=1$ 落在（1）的范围 $\left(\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3}\right)\approx (0.785,2.215)$ 之内，满足相交条件）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；设而不求与韦达定理；向量数量积的坐标表示。

2. 核心方法：“几何条件（距离 < 半径）定参数范围”；“代数条件（数量积）+ 韦达定理定具体参数”。

3. 避坑指南：① 联立后 $y_1{y}_2$ 要用 $y_i=k{x}_i+1$ 展开，$k(x_1+x_2)$ 这层最易漏；② 求出 $k=1$ 后要说明 $MN$ 过圆心才能得 $|MN|=2$，直接写”所以”不严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何”直线与圆”大题属中低档位，全国卷隔年出现；“向量数量积 + 弦长”的组合在 2016 年全国Ⅰ文 15 题的小题中再次出现。

2. 结论推广: 若条件改为 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=11$，则 $k^2+4k-3=0$，$MN$ 不过圆心，须用弦长公式 $|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 求——可见 $12$ 这个数字是命题人为”直径”特制的。

3. 方法推广: 直线与圆的代数路线（联立 + 韦达）与几何路线（弦心距直角三角形）要能自由切换：过圆心、垂直等特殊位置优先走几何路线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-15