2007-江苏卷-07 单-多项式按次幂展开系数

本题导读

本题考查二项式定理的应用，以及多项式展开系数。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 若对于任意实数 $x$，有 $x^3=a_0+a_1(x-2)+a_2(x-2{)}^2+a_3(x-2{)}^3$，则 $a_2$ 的值为 ()

A. $3$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. 令 $u=x-2$，则 $x=u+2$，$x^3=(u+2{)}^3$。
2. 按二项式定理展开：$u^3+6u^2+12u+8$。
3. $(x-2{)}^2$ 的系数即 $u^2$ 的系数 $6$。也可用泰勒系数 $a_2=\frac{f^{\prime \prime }(2)}{2!}=\frac{12}{2}=6$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=x-2$，则 $x=u+2$，从而 $x^3=(u+2{)}^3=u^3+6u^2+12u+8.$ 代回 $u=x-2$，得到 $x^3=8+12(x-2)+6(x-2{)}^2+(x-2{)}^3.$ 因此 $a_2=6$，故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项式按次幂展开系数

核心方法：换元 u=x−2 后按二项式展开

避坑指南：(u+2)³ 展开时 u² 项系数是 C(3,1)·2=6，别把组合数与 2 的幂配错；也可用泰勒系数 a₂=f″(2)/2!

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”二项式定理”

结论推广：(x+a)ⁿ 按 (x−b) 的幂展开，系数即泰勒系数 C(n,k)·a^{n−k}·b⁰…

方法推广：求”按 (x−a) 展开的系数”，换元最直接；通型 a_k=f^{(k)}(a)/k!

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2010-大纲卷I文-05 单-二项式系数
• 2010-大纲卷II文-14 填-二项式系数