2010-大纲卷II文-14 填-二项式系数

本题导读

考查二项展开。$x^3$ 项为 ${\mathrm{C}}_9^3{x}^3$，系数 $84$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-2k}$。
2. 令 $9-2k=3$，$k=3$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$。

✅【答案】

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$84$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-2k}.$ 令 $9-2k=3$，解得 $k=3$。 所以 $x^3$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项的系数

核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_9^k{x}^{9-2k}$，指数方程 $9-2k=3$ 定 $k$

避坑指南：${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ 型展开式幂次为 $n,n-2,n-4,\cdots$，$x^3$ 要求 $n-2k=3$ 有整数解，$k$ 算错一位系数全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 是万能入口，先写通项再凑条件。

结论推广：${\mathrm{C}}_9^3=84$ 这类常用组合数要熟：${\mathrm{C}}_9^3={\mathrm{C}}_9^6$。

方法推广：系数与二项式系数在两项系数均为 $1$ 时相同，含其他数字因子时才需区分。

🔗【关联脉络】

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