2007-江苏卷-11 填-和差化积求正切积

本题导读

本题考查和差化积公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 若 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{5}$，$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$，则 $\tan \alpha \tan \beta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 和差化积：$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$。
2. $\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )=2\sin \alpha \sin \beta$。
3. 两式相除得 $\tan \alpha \tan \beta$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由和差化积公式，得 $\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta =\frac{4}{5},$ 以及 $\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )=2\sin \alpha \sin \beta =\frac{2}{5}.$ 因为 $\cos \alpha \cos \beta =\frac{2}{5}\ne 0$，所以 $\tan \alpha \tan \beta =\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差化积求正切积

核心方法：两式和与差分别出 cosαcosβ 与 sinαsinβ

避坑指南：cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ（和化积）；相减出 2sinαsinβ；tanαtanβ 是两组乘积之比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”和差化积公式”

结论推广：cos(α+β)±cos(α−β) 的两条恒等式

方法推广：见到 tanα·tanβ 就想到 sinαsinβ/cosαcosβ，而和差化积恰好分别给出这两个乘积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练(Links)

• 2010-大纲卷I文-14 填-二倍角正切
• 2010-上海卷文-16 单-正切与充要条件
• 2010-浙江卷文-18 解-解三角形与最值