2007-江苏卷-19 解-抛物线切线与中点弦

本题导读

本题考查抛物线的切线。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过 $y$ 轴正方向上一点 $C(0,c)$ 任作一直线，与抛物线 $y=x^2$ 相交于 $A$，$B$ 两点，一条垂直于 $x$ 轴的直线，分别与线段 $AB$ 和直线 $l:y=-c$ 交于 $P$，$Q$. （1）若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$，求 $c$ 的值； （2）若 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，求证：$QA$ 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 设 $A=(u,u^2)$，$B=(v,v^2)$，弦 $AB$：$y=(u+v)x-uv$；过 $C(0,c)$ 得 $uv=-c$。
2. (1) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=uv+u^2{v}^2=-c+c^2=2$，解出 $c$（取正）。
3. (2) 中点横坐标 $t=\frac{u+v}{2}$；抛物线在 $A$ 处切线 $y=2ux-u^2$，验证 $Q(t,-c)$ 在其上。
4. (3) 由 $Q$ 在切线上反推 $t=\frac{u+v}{2}$，即 $P$ 是中点。

✅【答案】

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(1) $c=2$；(2) 证明见解析；(3) 逆命题成立，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $A=(u,u^2)$，$B=(v,v^2)$，其中 $u\ne v$．过抛物线上两点 $A,B$ 的直线方程为 $y=(u+v)x-uv$．由于该直线过 $C=(0,c)$，所以 $uv=-c$．设题设中的垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=t$，则 $P$ 与 $Q$ 的横坐标均为 $t$，且 $Q=(t,-c)$． （1）$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=uv+u^2{v}^2=uv+(uv{)}^2=-c+c^2=2$． 因此 $c^2-c-2=0$，即 $(c-2)(c+1)=0$．由于 $C$ 在 $y$ 轴正方向上，$c>0$，所以 $c=2$． （2）若 $P$ 是线段 $AB$ 的中点，则其横坐标为 $t=\frac{u+v}{2}$．抛物线 $y=x^2$ 在点 $A=(u,u^2)$ 处的切线方程为 $y=2ux-u^2$．当 $x=t$ 时，该切线的纵坐标为 $2ut-u^2=u(u+v)-u^2=uv=-c.$ 所以点 $Q=(t,-c)$ 在点 $A$ 处的切线上，故 $QA$ 为此抛物线的切线． （3）逆命题成立．若 $QA$ 为抛物线在 $A$ 处的切线，则点 $Q$ 在切线 $y=2ux-u^2$ 上，从而 $-c=2ut-u^2.$ 结合 $uv=-c$，得 $uv=2ut-u^2$．因为 $uv=-c<0$，所以 $u\ne 0$，进而 $v=2t-u$，即 $t=\frac{u+v}{2}.$ 这正是线段 $AB$ 中点的横坐标；又 $P$ 在 $AB$ 上，所以 $P$ 为线段 $AB$ 的中点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线切线与中点弦

核心方法：设参 uv=−c 统一条件，切线方程 2ux−u²

避坑指南：弦 AB 过 C(0,c) 给出 uv=−c 是全题枢纽；切线在 x=t 处纵坐标 2ut−u² 恰好等于 uv；逆命题证明同样的等式反着用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的切线与中点性质

结论推广：y=x² 在 (u,u²) 处切线 y=2ux−u²；中点横坐标=(u+v)/2

方法推广：抛物线问题设两端点参数 (u,u²),(v,v²)，把弦、中点、切线全部参数化

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦
• 2010-上海卷文-08 填-抛物线定义求轨迹
• 2010-大纲卷II文-15 填-抛物线中点定参