2007-江苏卷-21 解-函数方程根的包含条件

本题导读

本题考查函数与方程的根。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 已知 $a$，$b$，$c$，$d$ 是不全为零的实数，函数 $f(x)=b{x}^2+cx+d$，$g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. 方程 $f(x)=0$ 有实数根，且 $f(x)=0$ 的实数根都是 $g(f(x))=0$ 的根；反之，$g(f(x))=0$ 的实数根都是 $f(x)=0$ 的根. （1）求 $d$ 的值； （2）若 $a=0$，求 $c$ 的取值范围； （3）若 $a=1$，$f(1)=0$，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 取 $f(x)=0$ 的根 $x_0$，则 $g(f(x_0))=g(0)=d=0$。
2. (2) $a=0$ 时 $g=f$；分 $b=0$ 与 $b\ne 0$ 讨论，看 $f(f(x))=0$ 是否产生额外根（判别式 $\Delta =c(c-4)$）；合并得 $c\in \mathbf{R}$。
3. (3) $c=-b$；$f$ 的根必是 $g(f(x))=0$ 的根，只需二次方程 $y^2+by-b=0$ 的根不落在 $f$ 的值域内；按 $b>0$、$-4⩽b<0$、$b<-4$ 三段讨论。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $d=0$；(2) $c\in \mathbf{R}$；(3) $c\in \left[0,\frac{16}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的一个实数根．由题设，$x_0$ 也是方程 $g(f(x))=0$ 的根，因此 $0=g(f(x_0))=g(0)=d,$ 所以 $d=0$． （2）由 $d=0$ 且 $a=0$，有 $f(x)=b{x}^2+cx=x(bx+c)$，且 $g(x)=b{x}^2+cx=f(x)$． 先看退化情形 $b=0$．此时由”不全为零”知 $c\ne 0$，且 $f(x)=g(x)=cx$，所以 $g(f(x))=c^{2}x$．两个方程的实数根都恰为 $x=0$，故任意 $c\ne 0$ 都满足条件． 再看 $b\ne 0$．当 $c=0$ 时，$f(x)=b{x}^2$，且 $g(f(x))=f(f(x))=b^3{x}^4$，两个方程的实数根均为 $0$，所以 $c=0$ 可取．当 $c\ne 0$ 时，$f(x)=0$ 的根为 $0$ 和 $-\frac{c}{b}$，而 $g(f(x))=f(f(x))=0$ 还可能由 $f(x)=-\frac{c}{b}$ 产生额外根．该方程为 $b{x}^2+cx+\frac{c}{b}=0$，其判别式为 $\Delta =c^2-4c=c(c-4)$．为了不产生额外实根，必须有 $\Delta <0$，即 $0<c<4$．因此在 $b\ne 0$ 时，$c\in [0,4)$． 按题面条件允许 $b=0$，合并两种情形可得 $c\in \mathbf{R}$． （3）由 $a=1$，$d=0$，以及 $f(1)=0$，得 $b+c=0$，即 $c=-b$．当 $b=0$ 时，$c=0$，$f(x)\equiv 0$，而 $g(f(x))\equiv 0$，题设条件成立． 下面设 $b\ne 0$．此时 $f(x)=bx(x-1)$，$g(y)=y(y^2+by-b)$．由于 $f(x)=0$ 的根已经必然是 $g(f(x))=0$ 的根，所以只需保证二次方程 $y^2+by-b=0$ 没有根落在 $f$ 的值域内．记该二次方程为 $H(y)=0$． 当 $b>0$ 时，$f$ 的值域为 $\left[-\frac{b}{4},+\infty \right)$，而此时 ${\Delta }_H=b^2+4b>0$，且 $y_{+}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4b}}{2}>0$．所以 $y_{+}$ 落在 $f$ 的值域内，产生额外根，不符合题意． 当 $-4⩽b<0$ 时，${\Delta }_H=b(b+4)⩽0$．当 $-4<b<0$ 时 $H$ 无实根；当 $b=-4$ 时 $H$ 的唯一根为 $2$，而 $f$ 的值域为 $(-\infty ,1]$，均不会产生额外根，故这一段的 $b$ 可取． 当 $b<-4$ 时，令 $B=-b>4$．此时 $f$ 的值域为 $\left(-\infty ,\frac{B}{4}\right]$，而 $H$ 的较小根为 $y_{-}=\frac{B-\sqrt{B^2-4B}}{2}.$ 为了使两个根都不在 $f$ 的值域内，必须有 $y_{-}>\frac{B}{4}$．由于两边均为正数，这等价于 $B>2\sqrt{B^2-4B}⟺B^2>4B^2-16B⟺B<\frac{16}{3}.$ 故此时 $-\frac{16}{3}<b<-4$．合并各情形并加入 $b=0$，得 $-\frac{16}{3}<b⩽0$．由于 $c=-b$，所以 $c\in \left[0,\frac{16}{3}\right).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数方程根的包含条件

核心方法：由根集相互包含逐层转化

避坑指南：f 的根都是 g(f(x))=0 的根 ⟺ f 的值域与 g 的”额外零点集”不交；c 的范围由判别式与值域的比较逐段定；b=0 的退化情形不能漏（它直接改变(2)的答案为 R）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数与方程的思想（根的分布）

结论推广：g(f(x))=0 的根 = g 的每个零点 y₀ 对应 f(x)=y₀ 的根的并

方法推广：复合函数零点问题：把外层零点一个个列出来，逐个检查内层方程有无新根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练(Links)

• 2010-北京卷文-18 解-三次函数无极值点
• 2010-天津卷文-16 填-恒成立求参
• 2010-大纲卷I文-21 解-四次函数极值与单调