2010-大纲卷I文-21 解-四次函数极值与单调

本题导读

考查导数综合。（1）极小值 $f(-2)=-12$，无极大值（$x=1$ 处不变号）；（2）$a\in \left[-\frac{4}{3},\frac{1}{6}\right]$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知函数 $f(x)=3a{x}^4-2(3a+1)x^2+4x$.

(1)当 $a=\frac{1}{6}$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

(2)若 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$a=\frac{1}{6}$：$f^{\prime }(x)=2x^3-6x+4=2(x-1{)}^2(x+2)$。 2. $x<-2$ 减、$x>-2$ 增（$x=1$ 不变号），极小 $f(-2)=-12$，无极大。 3.（2）$f^{\prime }(x)=4(1-x)[1-3ax(x+1)]$，$(-1,1)$ 内 $1-x>0$。 4. 需 $1-3ax(x+1)⩾0$：$a⩾0$ 时最严在 $x\to 1$，$a⩽\frac{1}{6}$；$a<0$ 时最严在 $x(x+1)=-\frac{1}{4}$，$a⩾-\frac{4}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 极小值 $-12$，无极大值

(2) $a\in \left[-\frac{4}{3},\frac{1}{6}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=\frac{1}{6}$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+4x$， $f^{\prime }(x)=2x^3-6x+4=2(x-1{)}^2(x+2).$ 当 $x<-2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $x>-2$ 且 $x\ne 1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。 $x=1$ 处导数为零但不变号，不是极值点。 所以 $x=-2$ 是极小值点，极小值 $f(-2)=\frac{1}{2}\times 16-3\times 4+4\times (-2)=-12,$ $f(x)$ 无极大值。 （2）对任意 $a$， $f^{\prime }(x)=12a{x}^3-4(3a+1)x+4=4(1-x)[1-3ax(x+1)].$ 在 $(-1,1)$ 内 $1-x>0$，故 $f$ 为增函数的充要条件是 $1-3ax(x+1)⩾0(-1<x<1).$ 函数 $x(x+1)$ 在 $(-1,1)$ 上的最小值为 $-\frac{1}{4}$，上界为 $2$。 当 $a⩾0$ 时，最严格的限制来自 $x\to 1^{-}$，需 $1-6a⩾0$，即 $a⩽\frac{1}{6}$； 当 $a<0$ 时，令 $a=-b$（$b>0$），则 $1+3bx(x+1)⩾1-\frac{3b}{4}⩾0$，需 $b⩽\frac{4}{3}$，即 $a⩾-\frac{4}{3}$。 端点处导数仅在个别点为零且不变号，函数仍为增函数，故端点可取。 综上 $a\in \left[-\frac{4}{3},\frac{1}{6}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参四次函数的极值与单调性

核心方法：（1）导数因式分解看变号；（2）提出正因子 $4(1-x)$ 后讨论内层

避坑指南：$x=1$ 处 $f^{\prime }=0$ 但 $(x-1{)}^2$ 不变号，不是极值点——“导数为零”只是极值的必要条件；端点 $a=-\frac{4}{3},\frac{1}{6}$ 经检验可取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：因式分解 $2x^3-6x+4=2(x-1{)}^2(x+2)$：有理根试根 $x=1$。

结论推广：区间上单调 $⟺$ 导数在区间上不变号（允许孤立零点）。

方法推广：含参讨论抓内层函数 $x(x+1)$ 的最值：最小 $-\frac{1}{4}$（$x=-\frac{1}{2}$）、上界 $2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2011-广东卷文-19 解-导数含参单调
• 2009-浙江卷文-21 解-导数切线与单调性