2007-江西卷文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积

本题导读

本题考查抛物线，以及直线与抛物线交点。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 连接抛物线 $x^2=4y$ 的焦点 $F$ 与点 $M(1,0)$ 所得的线段与抛物线交于点 $A$，设点 $O$ 为坐标原点，则三角形 $OAM$ 的面积为 ()

A. $-1+\sqrt{2}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}-\sqrt{2}$　　　　　　C. $1+\sqrt{2}$　　　　　　D. $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 焦点 $F(0,1)$，直线 $FM$：$y=1-x$。
2. 联立 $x^2=4(1-x)$，$x^2+4x-4=0$，$x=-2\pm 2\sqrt{2}$；线段 $FM$ 上取 $x_A=2\sqrt{2}-2$。
3. 以 $OM$ 为底（长 1），高为 $y_A$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F(0,1)$．直线 $FM$ 经过 $F(0,1)$ 和 $M(1,0)$，方程为 $y=1-x$． 联立抛物线方程：$x^2=4(1-x)\iff x^2+4x-4=0$，解得 $x=-2\pm 2\sqrt{2}$． 交点 $A$ 在线段 $FM$ 上（$0⩽x⩽1$ 附近），取 $x_A=2\sqrt{2}-2$，$y_A=1-x_A=3-2\sqrt{2}$． 以 $OM$ 为底，$OM=1$，高为 $y_A$，故 $S_{△OAM}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{3}{2}-\sqrt{2}.$ 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线交点三角形面积

核心方法：$FM:y=1-x$ 联立 $x^2=4y$ 得交点 $A$，$S=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot y_A$

避坑指南：三角形以 $OM$ 为底时高是 $A$ 的纵坐标；解方程取线段 $FM$ 上的那个交点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与抛物线交点 + 三角形面积，解析几何小题

结论推广：抛物线焦点 $F(0,1)$ 与 $M(1,0)$ 连线 $y=1-x$；面积用铅垂底 $OM$

方法推广：面积题选对底高最省事；交点坐标精确到 $\sqrt{2}$ 组合

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程
• 2007-新课标卷文-07 单-抛物线的焦半径公式
• 2007-大纲卷I文-12 单-抛物线焦点弦与三角形面积
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值