2013-北京卷理-07 单-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线，以及抛物线的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 直线 $l$ 过抛物线 $C:x^2=4y$ 的焦点且与 $y$ 轴垂直，则 $l$ 与 $C$ 所围成的图形的面积等于()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　B. $2$　　　　　　C. $\frac{8}{3}$　　　　　　D. $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 确定抛物线焦点：抛物线方程为 $x^2=4y$，标准形式为 $x^2=2py$，则 $2p=4$，$p=2$。焦点坐标为 $(0,\frac{p}{2})$，即 $(0,1)$。

2. 确定直线方程：直线 $l$ 过点 $(0,1)$ 且与 $y$ 轴垂直，因此直线方程为 $y=1$。

3. 求交点坐标：联立直线与抛物线方程 $\{\begin{array}{l}y=1\\ x^2=4y\end{array}$，求出交点的横坐标 $x$。

4. 建立积分模型：根据图形的对称性或直接积分，计算直线 $y=1$ 与曲线 $y=\frac{x^2}{4}$ 在交点区间内围成的面积。公式为 $S={\int }_a^b[f_{\text{上}}(x)-f_{\text{下}}(x)]dx$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何元素

抛物线 $C:x^2=4y$ 的开口向上，焦点在 $y$ 轴上。

由 $2p=4$ 得 $p=2$，焦点 $F(0,\frac{p}{2})=(0,1)$。

直线 $l$ 过点 $F(0,1)$ 且垂直于 $y$ 轴（即平行于 $x$ 轴），所以直线 $l$ 的方程为 $y=1$。

第二步：计算交点

联立方程组：

$\{\begin{array}{l}y=1\\ x^2=4y\end{array}⟹x^2=4⟹x=\pm 2$

即直线与抛物线的交点为 $(-2,1)$ 和 $(2,1)$。

第三步：利用定积分求面积

封闭图形在 $x$ 轴上的投影区间为 $[-2,2]$。在上方的曲线是直线 $y=1$，在下方的曲线是抛物线 $y=\frac{x^2}{4}$。

面积 $S$ 为：

$S={\int }_{-2}^2\left(1-\frac{x^2}{4}\right)dx$

利用原函数计算：

$S={\left[x-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2={\left[x-\frac{x^3}{12}\right]}_{-2}^2$

$S=\left(2-\frac{8}{12}\right)-\left(-2-\frac{-8}{12}\right)$

$S=\left(2-\frac{2}{3}\right)-\left(-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}$

故选：C。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点位置的判定（注意 $x^2$ 与 $y^2$ 的区别）；定积分求面积的基本步骤。

核心方法：“上减下”积分法。在求面积时，一定要分清哪条曲线在上方。此外，也可以利用对称性计算 $2{\int }_0^2(1-\frac{x^2}{4})dx$ 简化运算。

避坑指南：抛物线焦点坐标容易错算成 $(1,0)$ 或 $(0,2)$。务必通过标准方程确认焦点所在的轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：微积分基本定理、阿基米德抛物线面积定理。

结论推广：对于抛物线 $x^2=2py$ 与过焦点的水平弦（通径）围成的面积，固定公式为 $S=\frac{2}{3}{p}^2$。本题 $p=2$，则 $S=\frac{2}{3}\cdot 2^2=\frac{8}{3}$。

方法推广：涉及不规则曲线围成的面积，优先考虑定积分。若解析式关于 $y$ 更简单，也可以考虑对 $y$ 积分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线