2007-江西卷文-22 解-双曲线轨迹与等腰直角三角形

本题导读

本题考查双曲线。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 设动点 $P$ 到两定点 $F_1(-1,0)$ 和 $F_2(1,0)$ 的距离分别为 $d_1$ 和 $d_2$，$\angle F_{1}P{F}_2=2\theta$，且存在常数 $\lambda$（$0<\lambda <1$），使得 $d_1{d}_2{\sin }^2\theta =\lambda$． （1）证明：动点 $P$ 的轨迹 $C$ 为双曲线，并求出 $C$ 的方程； （2）如图，过点 $F_2$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$、$B$ 两点．问：是否存在 $\lambda$，使 $△F_{1}AB$ 是以点 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

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（1）$F_1{F}_2=2$，余弦定理 $4=d_1^2+d_2^2-2d_1{d}_2\cos 2\theta$，$(d_1-d_2{)}^2=4-4d_1{d}_2{\sin }^2\theta =4(1-\lambda )$，$|d_1-d_2|=2\sqrt{1-\lambda }$ 为定值，轨迹为双曲线。 （2）设 $h=B{F}_1$、$r=B{F}_2$、$s=A{F}_2$，由等腰直角列 $h-r=2a$、$h=s+r$、$\sqrt{2}h-s=2a$ 等关系，结合 $h^2+r^2=4$ 解 $a^2$，回代 $\lambda =1-a^2$。

✅【答案】

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（1）$C:\frac{x^2}{1-\lambda }-\frac{y^2}{\lambda }=1$；（2）存在，$\lambda =\frac{12-2\sqrt{2}}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $P(x,y)$．在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，$F_1{F}_2=2$，$\angle F_{1}P{F}_2=2\theta$，由余弦定理 $4=d_1^2+d_2^2-2d_1{d}_2\cos 2\theta .$ 故 $(d_1-d_2{)}^2=d_1^2+d_2^2-2d_1{d}_2=4-2d_1{d}_2(1-\cos 2\theta )=4-4d_1{d}_2{\sin }^2\theta =4(1-\lambda )$． 于是 $|d_1-d_2|=2\sqrt{1-\lambda }$ 为定值．令 $a=\sqrt{1-\lambda }$，则 $0<a<1=\frac{F_1{F}_2}{2}$， 故 $P$ 的轨迹是以 $F_1$、$F_2$ 为焦点、实轴长为 $2a$ 的双曲线．焦距半 $c=1$，虚半轴平方 $b^2=c^2-a^2=\lambda$， 故轨迹方程 $\frac{x^2}{1-\lambda }-\frac{y^2}{\lambda }=1$（右支上 $d_1-d_2=2a$）． （2）设 $h=B{F}_1$、$r=B{F}_2$、$s=A{F}_2$．直线 $AB$ 过焦点 $F_2$ 交右支于 $A,B$，$F_2$ 在 $A,B$ 之间． 由双曲线定义 $h-r=2a$，$A{F}_1-s=2a$． 若 $△F_{1}AB$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $AB=B{F}_1=h$ 且 $h=s+r$． 结合 $h-r=2a$ 得 $s=2a$；又 $A{F}_1=\sqrt{2}h$，故 $\sqrt{2}h-s=2a\iff \sqrt{2}h-2a=2a$，得 $h=2\sqrt{2}a$，$r=h-2a=2a(\sqrt{2}-1)$． 由 $\angle F_{1}B{F}_2=90^{\circ }$，$F_1{F}_2=2$ 为斜边，故 $h^2+r^2=4$，即 $4a^2(5-2\sqrt{2})=4$，得 $a^2=\frac{1}{5-2\sqrt{2}}$． 于是 $\lambda =1-a^2=\frac{4-2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}=\frac{12-2\sqrt{2}}{17}$． 该值确实可实现：取 $B\left(\sqrt{1-{\lambda }^2},\lambda \right)$ 满足 $x_B^2+y_B^2=1$ 且 $\frac{x_B^2}{1-\lambda }-\frac{y_B^2}{\lambda }=1$，$B$ 在右支上且 $B{F}_1\perp B{F}_2$；在 $F_{2}B$ 反向延长线上取 $A$ 使 $A{F}_2=2a$，可验 $A$ 也在右支上且 $△F_{1}AB$ 为所求等腰直角三角形． 故存在 $\lambda =\frac{12-2\sqrt{2}}{17}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线轨迹与等腰直角三角形

核心方法：余弦定理 + $d_1{d}_2{\sin }^2\theta =\lambda$ 得 $|d_1-d_2|=2\sqrt{1-\lambda }$；等腰直角几何列方程

避坑指南：$(d_1-d_2{)}^2=4-4d_1{d}_2{\sin }^2\theta$ 关键一步；$\lambda =1-a^2$ 回代时符号勿错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线轨迹 + 等腰直角三角形的存在性，解析几何压轴

结论推广：由定义 $|d_1-d_2|=2a$ 得轨迹；等腰直角用 $h^2+r^2=4$ 列方程

方法推广：轨迹题先证”距离差为定值”再用定义写方程；存在性问题设参列方程解 $\lambda$

🔗【关联脉络】

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• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2007-北京卷文-19 解-圆与双曲线轨迹
• 2008-上海卷文-20 解-双曲线数量积与截线
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2007-大纲卷II文-12 单-双曲线焦点与向量模