2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长

本题导读

考查双曲线综合。垂直于渐近线的弦被渐近线与双曲线截割，等差条件 $2|AB|=|OA|+|OB|$ 化简得 $b=\frac{a}{2}$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$；弦长 $4$ 解出 $a=6$，$b=3$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 双曲线的中心为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_1$，$l_2$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_1$ 的直线分别交 $l_1$，$l_2$ 于 $A$，$B$ 两点. 已知 $|OA|$、$|AB|$、$|OB|$ 成等差数列，且 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向.

(1)求双曲线的离心率；

(2)设 $AB$ 被双曲线所截得的线段的长为 $4$，求双曲线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线 $l_1:y=\frac{b}{a}x$、$l_2:y=-\frac{b}{a}x$，右焦点 $F(c,0)$。
2. 过 $F$ 垂直 $l_1$ 的直线与两渐近线联立求 $A$、$B$ 坐标。
3. 计算 $|OA|=a$、$|FA|=b$、$|AB|$、$|OB|$。
4. 等差条件 $2|AB|=|OA|+|OB|$ 化简出 $b=\frac{a}{2}$，得 $e$。
5. 直线 $AB$ 代入双曲线，韦达定理表弦长，令其等于 $4$ 解出 $a$、$b$。

✅【答案】

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(1)$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$；(2)$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），令 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，则右焦点为 $F(c,0)$，离心率为 $e=\frac{c}{a}$. 两条渐近线可取为 $l_1:y=\frac{b}{a}x$，$l_2:y=-\frac{b}{a}x$. 过 $F$ 且垂直于 $l_1$ 的直线方程为 $y=-\frac{a}{b}(x-c)$. 分别与两条渐近线联立，得到 $A\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right),B\left(\frac{a^{2}c}{a^2-b^2},-\frac{abc}{a^2-b^2}\right).$ 向量 $\overrightarrow{FA}$ 的横坐标为负. 由 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向，点 $B$ 必在 $F$ 的右侧，从而 $a>b$，以下分母 $a^2-b^2$ 为正. 由坐标计算 $|OA|=\sqrt{{\left(\frac{a^2}{c}\right)}^2+{\left(\frac{ab}{c}\right)}^2}=a,|FA|=\sqrt{{\left(-\frac{b^2}{c}\right)}^2+{\left(\frac{ab}{c}\right)}^2}=b,$ $|FB|=\frac{b{c}^2}{a^2-b^2},|AB|=|AF|+|FB|=b+\frac{b{c}^2}{a^2-b^2}=\frac{2a^{2}b}{a^2-b^2},$ $|OB|=\sqrt{{\left(\frac{a^{2}c}{a^2-b^2}\right)}^2+{\left(\frac{abc}{a^2-b^2}\right)}^2}=\frac{a{c}^2}{a^2-b^2}.$ (1)由题意，$|OA|$、$|AB|$、$|OB|$ 依次成等差数列，所以 $2|AB|=|OA|+|OB|$. 代入上面的长度，得 $\frac{4a^{2}b}{a^2-b^2}=a+\frac{a{c}^2}{a^2-b^2}.$ 两边乘以 $a^2-b^2$，并利用 $c^2=a^2+b^2$，得 $4a^{2}b=a(a^2-b^2)+a{c}^2=2a^3,$ 所以 $b=\frac{a}{2}$，从而 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ (2)此时 $c=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，且直线 $AB$ 的斜率为 $-2$，故其方程为 $y=-2x+2c=-2x+\sqrt{5}a$. 将其代入双曲线方程 $x^2-4y^2=a^2$，得到 $x^2-4(-2x+\sqrt{5}a{)}^2=a^2,$ 整理得 $15x^2-16\sqrt{5}ax+21a^2=0$，其两个根为 $x_1=\frac{7\sqrt{5}}{15}a,x_2=\frac{3\sqrt{5}}{5}a.$ 所以两交点的横坐标之差为 $x_2-x_1=\frac{2\sqrt{5}}{15}a$. 直线 $AB$ 的斜率为 $-2$，故双曲线截得的线段长为 $\sqrt{1+(-2{)}^2}(x_2-x_1)=\sqrt{5}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{15}a=\frac{2a}{3}.$ 由题设该长度为 $4$，得 $a=6$，从而 $b=3$. 所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线与等差向量

核心方法：$|OA|=a$，$|FA|=b$，等差条件 $\Rightarrow b=\frac{a}{2}$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$；弦长 $4\Rightarrow a=6$

避坑指南：过焦点垂直渐近线的弦与两渐近线交点坐标可用 $a,b,c$ 表示；$|OA|=a$、$|FA|=b$ 是漂亮结论；”$\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向”用于定 $B$ 在 $F$ 右侧（$a>b$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与渐近线综合是压轴题常客，2009 大纲Ⅰ文第 5 题、2010 大纲Ⅱ文第 22 题同型。

结论推广：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；垂直条件给斜率 $-\frac{a}{b}$；弦长 $=\sqrt{1+k^2}|x_2-x_1|$。

方法推广：先解几何结构（交点、长度），再代等差条件；弦长题联立后用韦达定理，最后别忘 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 的换算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2010-大纲卷II文-22 解-双曲线中点弦与切圆
• 2011-大纲卷文-16 填-双曲线角平分线