2007-江西卷理-03 单-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查三角恒等变换与同角三角函数关系。核心在于利用两角差的正切公式解出 $\tan \alpha$，进而通过倒数关系求得 $\cot \alpha$。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 若 $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=3$，则 $\cot \alpha$ 等于()

A. $-2$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用两角差的正切公式展开已知等式： $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=3$。

2. 将 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 代入，建立关于 $\tan \alpha$ 的一元一次方程并求解。

3. 根据余切与正切的倒数关系 $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ 计算最终结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：根据两角差的正切公式，将已知条件展开： $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=3$ 将熟悉的特殊角正切值 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 代入上式中： $\frac{1-\tan \alpha }{1+\tan \alpha }=3$ 两边同时乘分母 $(1+\tan \alpha )$ 展开去分母： $1-\tan \alpha =3(1+\tan \alpha )⟹1-\tan \alpha =3+3\tan \alpha$ 移项合并同类项： $-4\tan \alpha =2⟹\tan \alpha =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

根据余切函数的定义及其与正切函数的倒数关系： $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差正切变形、商数与倒数关系。
2. 核心方法：待定系数方程法。
3. 避坑指南：

• 算得 $\tan \alpha =-\frac{1}{2}$ 后，千万别盲目勾选 B。题目要求的是 $\cot \alpha$，必须进行倒数转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 属于传统的三角函数基本公式考查。

2. 结论推广: 若 $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=k$，则 $\tan \alpha =\frac{1-k}{1+k}$，从而 $\cot \alpha =\frac{1+k}{1-k}$。代入 $k=3$ 快速验证： $\frac{1+3}{1-3}=\frac{4}{-2}=-2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-05 单-分段函数