2007-江西卷理-04 单-二项式系数各项系数

本题导读

本题考查二项式展开式中“各项系数的和”与“二项式系数的和”这两个概念的区别与关联。核心在于利用赋值法 $x=1$ 求各项系数和，利用性质公式 $2^n$ 求二项式系数和。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 已知 ${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$ 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 $n$ 等于()

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求各项系数的和：利用赋值法，令自变量 $x=1$，直接代入代数式中计算得到 $(1+3{)}^n=4^n$。

2. 求二项式系数的和：根据组合数性质，二项式系数的和为 ${\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+\cdots +{\text{C}}_n^n=2^n$。

3. 建立方程：根据题意比例关系建立方程 $\frac{4^n}{2^n}=64$，进而求出正整数 $n$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：在一元多项式或分式二项展开式中：

• 各项系数的和：可以通过令展开式中的所有自变量赋予特殊值 1 来求得。 令 $x=1$ 代入已知二项式 ${\left(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$ 中，各项系数的和为： ${\left(\sqrt{1}+\frac{3}{\sqrt[3]{1}}\right)}^n=(1+3{)}^n=4^n$

• 各项二项式系数的和：由二项式定理的性质可知，第 $r+1$ 项的二项式系数为 ${\text{C}}_n^r$，所有项的二项式系数之和恒为： ${\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\cdots +{\text{C}}_n^n=2^n$

根据题目给出的比例约束条件：“各项系数的和”与“二项式系数的和”之比为 64，可列出方程： $\frac{4^n}{2^n}=64$ 运用指数幂的运算法则进行化简： ${\left(\frac{4}{2}\right)}^n=64⟹2^n=64$ 因为 $2^6=64$，所以解得： $n=6$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数和公式（$2^n$）、各项系数和的“赋值法”原理。
2. 核心方法：赋值代换法、指数方程求解。
3. 避坑指南：

• 必须严格区分“二项式系数”和“各项系数”这两个极易混淆的概念。二项式系数仅指前面的组合数 ${\text{C}}_n^r$，与括号内的常数项无关（本题中为 $2^n$）；而各项系数包含了括号里的数字 3，必须通过令 $x=1$ 求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是二项式定理典型性质的综合演练。

2. 结论推广: 对于 $(a{x}^p+b{x}^q{)}^n$ 展开式，各项系数和为 $(a+b{)}^n$，二项式系数和为 $2^n$。其比值为 ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-06 单-二面角
• 2019-全国卷I理-13 填-导数几何意义