2019-全国卷I理-13 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）曲线 $y=3(x^2+x)e^x$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导函数：利用导数的乘法法则 $[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ 对函数进行求导。
2. 计算切线斜率：将切点的横坐标 $x=0$ 代入导函数 $y^{\prime }$ 中，求得的数值即为切线斜率 $k$。
3. 写出直线方程：已知切点 $(0,0)$ 和斜率 $k$，利用直线方程的点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 写出方程，并化简为一般式。

✅【答案】

点击查看答案

$3x-y=0$（或 $y=3x$）

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $3x-y=0$（或 $y=3x$）

【解析过程】 第一步：求导函数 设 $y=3(x^2+x)e^x$。 根据乘法求导法则： $y^{\prime }=[3(x^2+x){]}^{\prime }\cdot e^x+3(x^2+x)\cdot (e^x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3(2x+1)e^x+3(x^2+x)e^x$ 合并同类项，提公因式 $3e^x$： $y^{\prime }=3e^x(2x+1+x^2+x)$ $y^{\prime }=3(x^2+3x+1)e^x$。

第二步：求切点处的斜率 将 $x=0$ 代入 $y^{\prime }$： $k=y^{\prime }{|}_{x=0}=3(0^2+3\cdot 0+1)e^0$ $k=3\cdot 1\cdot 1=3$。

第三步：写出切线方程 已知切点为 $(0,0)$，斜率为 $k=3$。 由点斜式方程得： $y-0=3(x-0)$ 即 $y=3x$。 化为一般式为：$3x-y=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 求导准确性：本题的关键在于乘法法则的运用。$e^x$ 的导数仍为 $e^x$，这是计算中的便利点，但也容易在展开多项式时出现符号或系数错误。
• 切点检查：在做切线题时，应习惯性检查点是否在曲线上。本题点 $(0,0)$ 代入原函数满足 $0=3(0+0)e^0$，确认是“在点处”的切线。
• 结果格式：填空题中，$y=3x$ 或 $3x-y=0$ 均可，但通常建议化简为最简形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. “在点处”与“过点”：

• “在点 $P$ 处的切线”：点 $P$ 一定是切点，$k=f^{\prime }(x_P)$。
• “过点 $Q$ 的切线”：点 $Q$ 不一定是切点，需先设切点 $(x_0,y_0)$，利用 $k=f^{\prime }(x_0)=\frac{y_0-y_Q}{x_0-x_Q}$ 求解。

2. 复合求导：如果函数是 $e^{2x}$，求导时不要漏掉掉复合函数中的系数 $2$。
3. 几何意义的应用：切线方程不仅能求直线，还常用于近似计算或判断函数在局部的增减趋势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-广东理-12
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2018-全国卷II理-13 填-导数几何意义