2007-江西卷理-05 单-函数图象凹凸性切线割线比较

本题导读

本题考查三角函数在第一象限前段的不等式定性比较。核心在于识别选项中代数式的几何背景（割线斜率或抛物线弧线分布），利用特殊值排除假命题或通过凹凸性直接判定真命题。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 若 $0<x<\frac{\pi }{2}$，则下列命题中正确的是()

A. $\sin x<\frac{3}{\pi }x$　　　B. $\sin x>\frac{3}{\pi }x$　　　C. $\sin x<\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$　　　D. $\sin x>\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特殊值法：取特殊角 $x=\frac{\pi }{6}$（即 $30^{\circ }$）和 $x=\frac{\pi }{3}$（即 $60^{\circ }$），代入各选项计算两边近似值进行排除。
2. 图象法（凹凸性分析）：

• 考虑 $y=\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的图象是上凸的（二阶导数小于0）。

• 连接 $(0,0)$ 与 $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ 的割线方程为 $y=\frac{2}{\pi }x$。根据上凸性，当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，恒有 $\sin x>\frac{2}{\pi }x$。

• 对比 A、B 选项中的直线 $y=\frac{3}{\pi }x$ 以及 C、D 选项中的抛物线 $y=\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$ 进行精确区间判定。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：法一（特殊值排除法）： 取特殊值 $x=\frac{\pi }{6}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，此时 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}=0.5$。

• 对于 (A)、(B) 选项，右边代数式的值为： $\frac{3}{\pi }\times \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}=0.5$。 由于当 $x=\frac{\pi }{6}$ 时， 左边 $\sin x=0.5$，右边也是 $0.5$，不满足严格的大于或小于号， 故 (A)、(B) 均错误。
• 对于 (C)、(D) 选项，右边代数式的值为： $\frac{4}{{\pi }^2}\times {\left(\frac{\pi }{6}\right)}^2=\frac{4}{{\pi }^2}\times \frac{{\pi }^2}{36}=\frac{1}{9}\approx 0.111$。 此时左边 $\sin x=0.5$， 右边约等于 $0.111$， 显然满足 $0.5>0.111$， 即 $\sin x>\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$。

为了确保结论的严谨性， 进一步检验 (D) 选项在整个区间上的正确性： 法二（图象与单调性分析）： 分析 (D) 选项， 构造辅助函数 $h(x)=\sin x-\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$。 对 $h(x)$ 进行一阶求导： $h^{\prime }(x)=\cos x-\frac{8}{{\pi }^2}x$ 继续对 $h(x)$ 进行二阶求导： $h^{\prime \prime }(x)=-\sin x-\frac{8}{{\pi }^2}$ 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时， $\sin x>0$， 显然有 $h^{\prime \prime }(x)<0$ 恒成立。 这说明一阶导函数 $h^{\prime }(x)$ 在区间上是严格单调递减的。 计算端点导数值： $h^{\prime }(0)=1>0$， $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=0-\frac{8}{{\pi }^2}\times \frac{\pi }{2}=-\frac{4}{\pi }<0$。 由此可知， $h^{\prime }(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内存在唯一零点， 函数 $h(x)$ 先增后减。 又因为端点值 $h(0)=0$， $h\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}-\frac{4}{{\pi }^2}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2=1-1=0$。 根据先增后减且两端点均为 0 的特征， 函数 $h(x)$ 在整个开区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内必然严格大于 0。 即 $\sin x-\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2>0⟹\sin x>\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2$ 恒成立。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的不等式放缩、利用导数研究正弦曲线与抛物线的相对位置。
2. 核心方法：特殊值秒杀法、构造函数求导法。
3. 避坑指南：

• 看到四个选项长得很像且没有明显的公式可用时，第一反应必须是在区间内挑一到两个特殊角（如 $\frac{\pi }{6}$）代入。本题中 $x=\frac{\pi }{6}$ 恰好是直线 $y=\frac{3}{\pi }x$ 与 $y=\sin x$ 的交点， 直接就能把 A、B 两个干扰项同时斩杀， 效率极高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的不等式性质、函数图象的凹凸性与切线、割线比较是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是三角函数的不等式性质、函数图象的凹凸性与切线、割线比较的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用割线法与切线法、特殊值代入排除法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2008-江西卷文-04 单-指对数单调性比较
• 2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸