2009-湖南卷文-07 单-导数图象凹凸

本题导读

考查导数与图象。导函数递增即各点切线斜率逐渐增大，图象应下凸，四个选项中只有 (A) 满足，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 若函数 $y=f(x)$ 的导函数在区间 $[a,b]$ 上是增函数，则函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象可能是 () （四个选项均为 $[a,b]$ 上的函数图象：A 图曲线自左向右越升越陡；B 图曲线自左向右越升越缓；C 图为上升的直线段；D 图曲线先越升越缓、后越升越陡）

🔍【思路分析】

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1. 导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增，即图象上各点处切线斜率随 $x$ 增大而增大。
2. 斜率逐渐增大对应图象下凸（越升越陡）：A 图符合。
3. B 图斜率逐渐减小（上凸），C 图斜率不变（直线），D 图斜率先增后减，均不合。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增，表示函数图象上各点的切线斜率随 $x$ 增大而增大， 所以图象应当向下凸起，即曲线越升越陡。 四个图象中，只有 A 图的切线斜率从左到右逐渐增大； B 图的斜率逐渐减小，C 图为直线段、斜率保持不变，D 图的斜率先增大后减小。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与图象凹凸

核心方法：导函数递增 $\iff$ 切线斜率递增 $\iff$ 图象下凸

避坑指南：四个图象按”斜率越走越大/越走越小/不变/先增后减”归类，只有 A 是全程越升越陡。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：看图判断凹凸：拿”斜率变化”说话，不是看升降。

结论推广：直线段的导数恒定（不增），凡”斜率不变”即排除。

方法推广：本题是”以形异数”题：$f^{\prime }$ 增 $\Rightarrow$ 曲线下凸，结论与 $f$ 增减无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立