2007-江西卷理-15 填-三角形中点向量性质

本题导读

本题是一道非常经典的考查平面向量中“三点共线定理”的综合填空题。第一类标准方法是通过中点向量将 $\overrightarrow{AO}$ 用基底表示，再利用 $M,O,N$ 三点共线满足系数和为 1 求解；第二类为填空题特有的特例秒杀法，通过构造特殊的等腰直角三角形将几何位置全部坐标化快速破局。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$、 $AC$ 于不同的两点 $M,N$，若 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$， $\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$，则 $m+n$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 常规法（三点共线定理）：

• 已知点 $O$ 是 $BC$ 的中点，由向量中线公式可知： $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。
• 题目给定条件 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$， $\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$， 代入上式可将 $\overrightarrow{AO}$ 用不共线基底 $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}$ 显式表达： $\overrightarrow{AO}=\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$。
• 因为直线 $MN$ 经过点 $O$， 这意味着 $M,O,N$ 三点共线。
• 根据平面向量共线定理的推论， 若终点 $O$ 与起点 $A$ 外的直线两点 $M,N$ 共线，则其基底系数之和必然严格等于 1： $\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$。

2. 秒杀法（特殊化特值法）：

• 既然题目中给出的直线是任意的， 且结为常数， 我们可以让交线 $MN$ 平移到某种极其对称的特殊状态。例如： 让直线 $MN$ 刚好平行于底边 $BC$ 运行， 此时 $M,B$ 重合， $N,C$ 重合， 对应比例系数 $m,n$ 的大小一目了然。

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2

✍【详细解析】

Abstract

解：法一（标准平面向量共线定理法）： 因为点 $O$ 是 $△ABC$ 底边 $BC$ 的中点， 根据三角形中线向量性质定理， 向量 $\overrightarrow{AO}$ 可以用两侧的两条边向量作为基底进行平行四边形对角线式表示： $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

已知题目给定条件比例关系为： $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$， $\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$。 将这两个基底关系式对应代入到中线向量方程中： $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(m\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}\right)=\frac{m}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{n}{2}\overrightarrow{AN}$

由图可知， 截线 $MN$ 是一条经过点 $O$ 的直线， 这表明 $M,O,N$ 三点在空间几何上共线。 根据平面向量基本定理中关于三点共线的充要条件（从同一起点 $A$ 出发发散的三个向量，若终点共线，其关于不共线基底的组合系数和恒为 1）： $\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$ 方程两边同时乘 2 进行化简， 即可直接得到： $m+n=2$

法二（特例法 / 特殊直线选择法）： 因为该题是填空题， 且结论 $m+n$ 是一个确定的常数， 这说明其值与过中点 $O$ 的直线的倾斜方向完全无关。 为了极大程度简化代数推导， 我们可以取一条特殊的直线： 假设直线 $MN$ 恰好平行于三角形的底边 $BC$。 由于点 $O$ 是 $BC$ 的中点， 直线 $MN//BC$ 且经过点 $O$， 这说明直线 $MN$ 其实与底边 $BC$ 所在的直线完全重合。 在此极端退化位置下， 交点 $M$ 移动并重合于顶点 $B$， 交点 $N$ 移动并重合于顶点 $C$。 即： $M\equiv B⟹\overrightarrow{AB}=1\cdot \overrightarrow{AM}⟹m=1$ $N\equiv C⟹\overrightarrow{AC}=1\cdot \overrightarrow{AN}⟹n=1$ 此时直接求和： $m+n=1+1=2$

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量中线公式、三点共线定理的系数充要特征（ $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ 且 $\alpha +\beta =1⟺A,P,B$ 共线）。
2. 核心方法：系数和为1定理法、特殊直线退化秒杀法。
3. 避坑指南：

• 在解答选择、填空题涉及“过定点的任意直线”这一类定值问题时，特例法（特值法）是绝对的第一核心利器。本题通过让直线平移重合于 $BC$， 可以在完全不动笔计算和不推导公式的前提下， 5 秒钟直击正确答案， 实现考场上的降维打击。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自仿射几何中经典的**梅涅劳斯定理（Menelaus’s Theorem）**在向量代数系统中的投影表现。

2. 结论推广：若点 $O$ 不是中点，而是满足 $\overrightarrow{BO}=\lambda \overrightarrow{OC}$ 的分点，过 $O$ 的直线交 $AB,AC$ 于 $M,N$， 且 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$。利用完全相同的推导可得出一般化推广结论公式： $\frac{m}{1+\lambda }+\frac{\lambda n}{1+\lambda }=1⟹m+\lambda n=1+\lambda$。当为中点时 $\lambda =1$， 代入即得 $m+n=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-14 填-线性规划
• 2023-新高考I卷-13 填-计数