2007-江西卷理-22 解-等差数列通项公式

本题导读

本题是一道构思极其精妙的递推数列压轴题。核心在于利用繁分式不等式两端的“夹逼”对称性，通过精准的代数化简，将看似复杂的双向不等式转化为确定性的等号恒等式，从而锁定等差数列模型。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设正整数数列 $\{a_n\}$ 满足： $a_2=4$，且对于任何 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，有 $2+\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}<2+\frac{1}{a_n}$.

(1) 求 $a_1,a_3$；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$.

🔍【思路分析】

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1. 中间繁分式精简：

• 先处理分母： $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$。
• 分式化为： $\frac{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n(n+1)}}=n(n+1)\left(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)$。

2. 第一问：将 $n=1$ 代入不等式，借助 $a_2=4$ 和各项均为正整数的性质夹逼求出 $a_1$；再将 $n=2$ 代入求出 $a_3$。
3. 第二问（构造代换）：

• 观察不等式两侧的结构特征，提示引入倒数代换。令 $b_n=\frac{1}{a_n}$。

• 原不等式变为 $2+b_{n+1}<n(n+1)(b_n+b_{n+1})<2+b_n$。

• 考虑再次变形，将 $n(n+1)$ 拆分移项，寻找关于 $b_n$ 的单调递增或等差规律。

• 更本质地，由于 $\{a_n\}$ 是正整数数列，可以尝试将第一问算出的 $a_1=2,a_2=4,a_3=6$ 代入通项猜想 $a_n=2n$，然后再用数学归纳法或严密的夹逼整除性进行论证。

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数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）首先化简已知不等式中间的繁分式。由于 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$，原不等式可化简为： $2+\frac{1}{a_{n+1}}<n(n+1)\left(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)<2+\frac{1}{a_n}\text{(1)}$

• 求 $a_1$：在①式中令 $n=1$，并代入 $a_2=4$： $2+\frac{1}{4}<1\times 2\times \left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{4}\right)<2+\frac{1}{a_1}$ $\frac{9}{4}<\frac{2}{a_1}+\frac{1}{2}<2+\frac{1}{a_1}$ 解左半部分不等式： $\frac{2}{a_1}>\frac{9}{4}-\frac{2}{4}=\frac{7}{4}⟹a_1<\frac{8}{7}\approx 1.14$ 不对，调整符号方向： 中间分式化简： $n(n+1)\left(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)=\frac{n(n+1)}{a_n}+\frac{n(n+1)}{a_{n+1}}$。 当 $n=1$ 时， 为 $2\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{a_1}+\frac{1}{2}$。 不等式为： $2+\frac{1}{4}<\frac{2}{a_1}+\frac{1}{2}<2+\frac{1}{a_1}⟹\frac{9}{4}<\frac{2}{a_1}+\frac{2}{4}<2+\frac{1}{a_1}$。

• 左侧： $\frac{2}{a_1}>\frac{7}{4}⟹a_1<\frac{8}{7}$；

• 右侧： $\frac{2}{a_1}+\frac{1}{2}<2+\frac{1}{a_1}⟹\frac{1}{a_1}<\frac{3}{2}⟹a_1>\frac{2}{3}$。 由于 $\{a_n\}$ 是正整数数列，满足 $\frac{2}{3}<a_1<\frac{8}{7}$ 的正整数只有： $a_1=1\text{或 }{a}_1=2\text{ 有误，重新核对算式：}$ 若 $a_1=2$，则中间为 $1+0.5=1.5$，左边为 $2.25$， $2.25<1.5$ 不成立。 检查题目文字：原图片中的不等式分式分子应为 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 在分母。 若繁分式为 $\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}}$，则倒数后变为： $\frac{1}{n(n+1)(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}})}$。 再看原图：分子是 $\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}$，分母是 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。化简确为 $n(n+1)\left(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)$。 重新代入 $n=1,a_2=4$： $2+\frac{1}{4}<2\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{4}\right)<2+\frac{1}{a_1}⟹\frac{9}{4}<\frac{2}{a_1}+\frac{1}{2}⟹\frac{7}{4}<\frac{2}{a_1}⟹a_1<\frac{8}{7}$。 因 $a_1$ 是正整数， 故 $a_1=1$。 将 $a_1=1$ 代入右侧检查： $\frac{2}{1}+\frac{1}{2}=2.5$，而右边 $2+\frac{1}{1}=3$， $2.5<3$ 成立。故 $a_1=1$。

• 求 $a_3$：在①式中令 $n=2$，代入 $a_2=4$： $2+\frac{1}{a_3}<2\times 3\times \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{a_3}\right)<2+\frac{1}{4}$ $2+\frac{1}{a_3}<\frac{3}{2}+\frac{6}{a_3}<\frac{9}{4}$

• 左侧： $2+\frac{1}{a_3}<\frac{3}{2}+\frac{6}{a_3}⟹\frac{5}{a_3}>\frac{1}{2}⟹a_3<10$；

• 右侧： $\frac{3}{2}+\frac{6}{a_3}<\frac{9}{4}⟹\frac{6}{a_3}<\frac{3}{4}⟹a_3>8$。 由于 $a_3$ 是正整数，满足 $8<a_3<10$ 的正整数只有： $a_3=9$

（2）根据（1）求得的结果： $a_1=1,a_2=4,a_3=9$。 观察数据特征，猜想其通项公式为： $a_n=n^2$

下面利用数学归纳法对猜想 $a_n=n^2$ 进行严格证明：

1. 当 $n=1,2,3$ 时，由（1）知猜想显然成立。

2. 假设当 $n=k(k\ge 2)$ 时猜想成立，即 $a_k=k^2$。 我们需要证明当 $n=k+1$ 时， $a_{k+1}=(k+1{)}^2$ 亦成立。 将 $a_k=k^2$ 代入原化简不等式①中： $2+\frac{1}{a_{k+1}}<k(k+1)\left(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{a_{k+1}}\right)<2+\frac{1}{k^2}$ 展开中间项： $2+\frac{1}{a_{k+1}}<\frac{k+1}{k}+\frac{k(k+1)}{a_{k+1}}<2+\frac{1}{k^2}$

• 分离左半部分不等式： $2+\frac{1}{a_{k+1}}<1+\frac{1}{k}+\frac{k^2+k}{a_{k+1}}⟹1-\frac{1}{k}<\frac{k^2+k-1}{a_{k+1}}$ $\frac{k-1}{k}<\frac{k^2+k-1}{a_{k+1}}⟹a_{k+1}<\frac{k(k^2+k-1)}{k-1}=\frac{k^3+k^2-k}{k-1}=k^2+2k+1+\frac{1}{k-1}$ $a_{k+1}<(k+1{)}^2+\frac{1}{k-1}\text{(2)}$

• 分离右半部分不等式： $\frac{k+1}{k}+\frac{k^2+k}{a_{k+1}}<2+\frac{1}{k^2}⟹\frac{k^2+k}{a_{k+1}}<2+\frac{1}{k^2}-1-\frac{1}{k}=1-\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}=\frac{k^2-k+1}{k^2}$ $a_{k+1}>\frac{k^2(k^2+k)}{k^2-k+1}=\frac{k^4+k^3}{k^2-k+1}=k^2+2k+1-\frac{1}{k^2-k+1}$ $a_{k+1}>(k+1{)}^2-\frac{1}{k^2-k+1}\text{(3)}$

综合②式与③式，得到关于 $a_{k+1}$ 的双向夹逼范围： $(k+1{)}^2-\frac{1}{k^2-k+1}<a_{k+1}<(k+1{)}^2+\frac{1}{k-1}$ 因为 $k\ge 2$ 且为正整数，易知分母 $k-1\ge 1⟹\frac{1}{k-1}\le 1$（当 $k=2$ 时为 1，当 $k\ge 3$ 时小于 1）。 且 $\frac{1}{k^2-k+1}<1$。 由于 $\{a_n\}$ 是正整数数列， $a_{k+1}$ 必须是一个确定的正整数。 在上述极其狭窄的开区间内，唯一的正整数只能是中间的项： $a_{k+1}=(k+1{)}^2$ 由此可知，当 $n=k+1$ 时猜想同样成立。

综上所述， 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：繁分式的等价变形、正整数集的离散夹逼性质、数学归纳法的规范书写。
2. 避坑指南：

• 第一问求出 $a_1=1,a_3=9$ 后，必须具备敏锐的数字直觉。结合已知 $a_2=4$，数列前三项为 $1,4,9$，一眼就能看出是平方数数列。此时直接采用**“由特例进行猜想，再用数学归纳法严密证明”**的归纳递推路线，是攻克此类无从下手的抽象不等式数列题的最优解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查数列的递推关系式、不等式夹逼定理与唯一性，是江西卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（变量代换与繁分式化简、不等式同解变形法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：数列的递推关系式、不等式夹逼定理与唯一性相互关联，解答中综合运用了变量代换与繁分式化简、不等式同解变形法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 03.01 不等式解法体系
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-20 解-递推数列符号与恒成立
• 2008-四川卷文-21 解-和式递推构造等差
• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和