2008-北京卷文-20 解-递推数列符号与恒成立

本题导读

考查递推数列综合。(2)中项条件与首项差联立解出 $\lambda =3$ 后第四项检验矛盾；(3)按 $\lambda$ 所在区间数负因子个数：$\lambda \in (2k(2k-1),2k(2k+1))$ 时恰有 $2k-1$ 个负因子，$n>2k$ 后 $a_n<0$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\left(n^2+n-\lambda \right)a_n$（$n=1,2,\cdots$），$\lambda$ 是常数.

(1)当 $a_2=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_3$ 的值；

(2)数列 $\{a_n\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(3)求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$，当 $n>m$ 时总有 $a_n<0$.

🔍【思路分析】

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1. (1)$a_2=(1^2+1-\lambda )a_1=2-\lambda =-1\Rightarrow \lambda =3$；$a_3=(2^2+2-3)a_2=3\times (-1)=-3$。
2. (2)等差需 $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3$。$a_2=2-\lambda$；$a_2-a_1=a_3-a_2$ 化为 $(\lambda -3{)}^2=0$，$\lambda =3$；但此时 $a_4=(12-3)a_3=9\times (-3)=-27$，$a_4-a_3=-24\ne -2$，矛盾。
3. (3)$a_n={\prod }_{j=1}^{n-1}\left(j^2+j-\lambda \right)$。$j^2+j-\lambda <0⟺j^2+j<\lambda$。若 $\lambda \in \left(2k(2k-1),2k(2k+1)\right)$，则 $j⩽2k-1$ 的因子全负（共 $2k-1$ 个，奇数），$j⩾2k$ 的因子全正，$n>2k$ 后 $a_n<0$ 恒成立。

✅【答案】

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(1)$\lambda =3$，$a_3=-3$；(2)不可能；(3)$\lambda$ 的取值范围为 $\bigcup _{k\in {\mathbf{N}}^{\ast }}\left(4k^2-2k,4k^2+2k\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $a_2=(1^2+1-\lambda )a_1=2-\lambda =-1$，得 $\lambda =3$. $a_3=\left(2^2+2-3\right)a_2=3\times (-1)=-3.$ (2)假设 $\{a_n\}$ 为等差数列. 由 $a_1=1$，$a_2=2-\lambda$，$a_3=(6-\lambda )(2-\lambda )$，$a_4=(12-\lambda )(6-\lambda )(2-\lambda )$. 等差数列要求 $a_2-a_1=a_3-a_2$： $(2-\lambda )-1=(6-\lambda )(2-\lambda )-(2-\lambda )\Rightarrow 1-\lambda =(2-\lambda )(5-\lambda ).$ 展开得 ${\lambda }^2-6\lambda +9=0$，即 $(\lambda -3{)}^2=0$，$\lambda =3$. 但当 $\lambda =3$ 时，$a_2=-1$，$a_3=-3$，$a_4=(12-3)a_3=9\times (-3)=-27$， $a_4-a_3=-27-(-3)=-24\ne -2=a_3-a_2,$ 与等差矛盾. 又 $\lambda =2$ 时 $a_2=0$，$a_3=0$，$a_2-a_1=-1\ne 0=a_3-a_2$，也不是等差. 故数列 $\{a_n\}$ 不可能为等差数列. (3)$a_n=a_1\prod _{j=1}^{n-1}\left(j^2+j-\lambda \right)=\prod _{j=1}^{n-1}\left(j^2+j-\lambda \right)$. 对固定的 $j$，$j^2+j-\lambda <0⟺\lambda >j^2+j$；且 $j^2+j$ 随 $j$ 递增. 若 $\lambda \in \left(2k(2k-1),2k(2k+1)\right)=\left(4k^2-2k,4k^2+2k\right)$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则 $j⩽2k-1\text{时}{j}^2+j⩽(2k-1)\cdot 2k<\lambda \text{，因子为负；}$ $j⩾2k\text{时}{j}^2+j⩾2k(2k+1)>\lambda \text{，因子为正}.$ 所以当 $n⩾2k+1$ 时，前 $n-1$ 个因子中恰有 $2k-1$ 个负的（奇数个），其余全正，故 $a_n<0$ 恒成立. 反之，若 $\lambda \in \left[2k(2k+1),(2k+1)(2k+2)\right]$（相邻区间），负因子个数为偶数（或含零因子），充分大后 $a_n>0$ 或 $a_n=0$，不满足. 综上，所求取值范围为 $\lambda \in {\bigcup }_{k\in {\mathbf{N}}^{\ast }}\left(4k^2-2k,4k^2+2k\right).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的符号分析

核心方法：$\lambda =3$，$a_3=-3$；等差不成立；$\lambda \in {\bigcup }_{k⩾1}(4k^2-2k,4k^2+2k)$

避坑指南：$a_n$ 是前 $n-1$ 个因子 $j^2+j-\lambda$ 的积，符号由负因子个数的奇偶决定；$\lambda$ 落在相邻 $j^2+j$ 之间时负因子个数固定——按区间分类是唯一正路。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“积式递推 + 存在性恒成立”是数列压轴的典型结构，2009 四川文第 22 题、2009 湖北文第 19 题同型。

结论推广：$a_n={\prod }_{j=1}^{n-1}(j^2+j-\lambda )$；$j^2+j=(2k-1)(2k)$ 型分界：$\lambda \in (2k(2k-1),2k(2k+1))$ 时负因子恰 $2k-1$ 个。

方法推广：先写通项的乘积形式；等差判定用”中项条件 + 第三差”双重检验，勿只验一组；区间端点（因子为零）必须开区间，逐一说明排除理由。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩
• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2010-天津卷文-16 填-恒成立求参