2007-浙江卷文-15 填-三次曲线切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 曲线 $y=x^3-2x^2-4x+2$ 在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 求导：$y^{\prime }=3x^2-4x-4$。
2. 切点横坐标 $x=1$：斜率 $k=3-4-4=-5$。
3. 验证切点：$1-2-4+2=-3$，确在曲线上。点斜式 $y+3=-5(x-1)$。

✅【答案】

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$5x+y-2=0$

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=3x^2-4x-4$，在 $x=1$ 处切线斜率 $k=3-4-4=-5$． 又 $f(1)=1-2-4+2=-3$，点 $(1,-3)$ 在曲线上，故切线方程为 $y-(-3)=-5(x-1),$ 整理得 $5x+y-2=0$． （易错点：”$x=1$ 处的切线”以 $x=1$ 为切点横坐标直接求导代入；若是”过某点的切线”则需设切点解方程，两字之差方法不同。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次曲线切线

核心方法：$y^{\prime }=3x^2-4x-4$，切点横坐标代入得斜率，点斜式写方程

避坑指南：“在点 $P$ 处的切线”以 $P$ 为切点直接求导；“过点 $P$ 的切线”需设切点——本题是前者

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数几何意义求切线是导数板块第一考点

结论推广：三次曲线在某点处的切线斜率代入 $f^{\prime }(x_0)$ 即得

方法推广：三次曲线切线延伸：切点两侧图象穿越切线（拐点性质），与二次曲线切线”同侧”不同

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2014-大纲卷理-15 填-切线
• 2007-大纲卷I文-11 单-导数的几何意义与切线三角形
• 2007-新课标卷文-10 单-导数的几何意义与切线三角形