2007-新课标卷文-10 单-导数的几何意义与切线三角形

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 曲线 $y=e^x$ 在点 $(2,e^2)$ 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ()

A. $\frac{9}{4}{e}^2$　　　　　　B. $2e^2$　　　　　　C. $e^2$　　　　　　D. $\frac{e^2}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $y^{\prime }=e^x$，切线斜率 $k=e^2$。
2. 切线 $y=e^{2}x-e^2$ 与两轴交于 $(1,0)$ 与 $(0,-e^2)$，面积 $=\frac{1}{2}\times |1|\times |-e^2|$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=e^x$，在 $x=2$ 处切线斜率 $k=e^2$．切线方程为 $y-e^2=e^2(x-2),\text{即}y=e^{2}x-e^2.$ 令 $y=0$ 得 $x=1$；令 $x=0$ 得 $y=-e^2$． 切线与坐标轴围成的直角三角形面积 $S=\frac{1}{2}\times 1\times e^2=\frac{e^2}{2}$．故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线三角形

核心方法：切点处导数即斜率，截距定三角形

避坑指南：纵截距 $-e^2$ 为负，面积取绝对值 $\frac{e^2}{2}$；漏乘 $\frac{1}{2}$ 是易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数切线是导数几何意义的经典载体。

结论推广：$y=e^x$ 在 $(x_0,e^{x_0})$ 处切线 $y=e^{x_0}x+e^{x_0}(1-x_0)$。

方法推广：先写切线一般式，再分别令 $x=0$、$y=0$ 算截距。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2015-新课标I卷文-14 填-导数切线
• 2015-新课标II卷文-16 填-导数切线