2007-湖北卷文-04 单-三角函数图象平移

本题导读

本题考查反函数，以及值域。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 函数 $y=\frac{2^x+1}{2^x-1}$（$x<0$）的反函数是 ()

A. $y={\log }_2\frac{x+1}{x-1}$（$x<-1$）　　　　　　　　　　B. $y={\log }_2\frac{x+1}{x-1}$（$x>1$）

C. $y={\log }_2\frac{x-1}{x+1}$（$x<-1$）　　　　　　　　　　D. $y={\log }_2\frac{x-1}{x+1}$（$x>1$）

🔍【思路分析】

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1. 值域即反函数定义域：$x<0$ 时 $2^x\in (0,1)$，$2^x-1\in (-1,0)$，$y=1+\frac{2}{2^x-1}<-1$。
2. 由 $y(2^x-1)=2^x+1$ 解 $2^x=\frac{y+1}{y-1}$。
3. $x={\log }_2\frac{y+1}{y-1}$，交换得 $y={\log }_2\frac{x+1}{x-1}$（$x<-1$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$x<0$ 时 $2^x\in (0,1)$，$2^x-1\in (-1,0)$， $y=\frac{2^x+1}{2^x-1}=1+\frac{2}{2^x-1}$，由 $\frac{2}{2^x-1}<-2$ 得 $y<-1$，故反函数定义域为 $(-\infty ,-1)$． 由 $y(2^x-1)=2^x+1$ 得 $(y-1)2^x=y+1$，$2^x=\frac{y+1}{y-1}$， 所以 $x={\log }_2\frac{y+1}{y-1}$，反函数为 $y={\log }_2\frac{x+1}{x-1}$（$x<-1$），选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象平移

核心方法：统一函数名：$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，对相位差定平移量

避坑指南：先化同名再平移；“左加右减”方向别反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式 + 图象平移，三角小题标准考法

结论推广：$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

方法推广：平移题先统一函数名，再对相位差定平移量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-06 单-反函数求解
• 2007-安徽卷文-04 单-反函数是自身
• 2008-四川卷文-02 单-对数型反函数
• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式