2008-安徽卷文-06 单-反函数求解

本题导读

本题求二次函数限定区间上的反函数：先求原函数值域（即反函数定义域），再解出 $x$ 并注意 $x⩽0$ 的符号取舍。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 函数 $f(x)=(x-1{)}^2+1$（$x⩽0$）的反函数为()

A. $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x⩾1$）　　　　　　　　　B. $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-1}$（$x⩾1$）

C. $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x⩾2$）　　　　　　　　　D. $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x⩾2$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩽0$ 时 $f(x)⩾2$，故反函数定义域为 $x⩾2$，排除 A、B。
2. 解 $y=(x-1{)}^2+1$：$x-1=-\sqrt{y-1}$（$x⩽0$ 取负号），得反函数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时，$x-1⩽-1$，故 $(x-1{)}^2⩾1$，$f(x)⩾2$，原函数的值域为 $[2,+\infty )$，所以反函数的定义域为 $x⩾2$，排除 A、B。 由 $y=(x-1{)}^2+1$ 得 $(x-1{)}^2=y-1$，因为 $x⩽0$，所以 $x-1⩽-1<0$，开方取负号：$x-1=-\sqrt{y-1}$，即 $x=1-\sqrt{y-1}$。 所以反函数为 $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x⩾2$），故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：限定区间上反函数的求法

核心方法：值域定反函数定义域，解方程时按区间取开方符号

避坑指南：$x⩽0$ 时 $x-1<0$，开方取负号得 $1-\sqrt{x-1}$；反函数定义域是原函数值域 $[2,+\infty )$，不是 $[1,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 上海文第 1 题、2009 大纲Ⅱ文第 2 题同考反函数。

结论推广：限定区间上反函数的定义域由原函数值域决定。

方法推广：求反函数三步：定值域、解方程、按区间选开方符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2012-大纲卷文-02 单-反函数