2007-湖北卷文-21 解-抛物线面积与定弦长

本题导读

本题考查抛物线。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过定点 $C(0,p)$ 作直线与抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）相交于 $A$，$B$ 两点． （1）若点 $N$ 是点 $C$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点，求 $△ANB$ 面积的最小值； （2）是否存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l$，使得 $l$ 被以 $AC$ 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

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（1）设直线 $y=kx+p$，代入 $x^2=2py$：$x^2-2pkx-2p^2=0$，$x_1+x_2=2pk$、$x_1{x}_2=-2p^2$；$|AB|=2p\sqrt{(1+k^2)(k^2+2)}$，$N(0,-p)$ 到直线距离 $=\frac{2p}{\sqrt{1+k^2}}$，$S=2p^2\sqrt{k^2+2}⩾2\sqrt{2}{p}^2$。 （2）设 $l:y=t$。以 $AC$ 为直径的圆：圆心 $M\left(\frac{x_A}{2},\frac{y_A+p}{2}\right)$，半径 $r=\frac{|AC|}{2}$；弦长平方 $=4r^2-4d^2=(4t-2p)y_A+4tp-4t^2$；恒定 $⟺t=\frac{p}{2}$，此时弦长 $=p$。

✅【答案】

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（1）最小值 $2\sqrt{2}{p}^2$；（2）存在，$l:y=\frac{p}{2}$（截得弦长恒为 $p$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）$N(0,-p)$．直线 $AB$ 斜率存在，设 $y=kx+p$，代入 $x^2=2py$： $x^2-2pkx-2p^2=0,x_1+x_2=2pk,x_1{x}_2=-2p^2.$ $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{4p^2{k}^2+8p^2}=2p\sqrt{(1+k^2)(k^2+2)}.$ $N$ 到直线 $kx-y+p=0$ 的距离 $d=\frac{|k\cdot 0-(-p)+p|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{2p}{\sqrt{1+k^2}}$． $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2p\sqrt{(1+k^2)(k^2+2)}\cdot \frac{2p}{\sqrt{1+k^2}}=2p^2\sqrt{k^2+2}⩾2\sqrt{2}{p}^2,$ 当 $k=0$ 时取等号（此时直线 $y=p$ 平行于 $x$ 轴，与抛物线交于两点），故面积最小值为 $2\sqrt{2}{p}^2$． （2）设 $l:y=t$．$A(x_A,y_A)$，以 $AC$ 为直径的圆：圆心 $M\left(\frac{x_A}{2},\frac{y_A+p}{2}\right)$，半径 $r=\frac{|AC|}{2}$，$4r^2=x_A^2+(y_A-p{)}^2$． 圆心到 $l$ 的距离平方 $4d^2=(y_A+p-2t{)}^2$，弦长平方 $L^2=x_A^2+(y_A-p{)}^2-(y_A+p-2t{)}^2=x_A^2-4p{y}_A+4t(y_A+p)-4t^2.$ 由 $x_A^2=2p{y}_A$：$L^2=(4t-2p)y_A+4tp-4t^2$． 弦长与所选直线 $AB$（即与 $A$）无关恒为定值 $⟺4t-2p=0⟺t=\frac{p}{2}$． 此时 $L^2=2p^2-p^2=p^2$，弦长恒为 $p$． 故存在，$l$ 的方程为 $y=\frac{p}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线面积与定弦长

核心方法：联立得韦达定理，面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d$；定弦长 ⟺ 系数与点无关

避坑指南：$N$ 是 $C$ 关于原点的对称点即 $N(0,-p)$；距离公式分子绝对值别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线面积最值与定弦长，解析几何压轴

结论推广：韦达定理 + 面积函数最值 + 系数无关定参数

方法推广：解析几何压轴：设而不求 + 韦达化简 + 参数分离

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程
• 2007-安徽卷文-18 解-抛物线焦点弦垂直面积
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