2007-湖北卷理-03 单-绝对值不等式解法

本题导读

本题考查新定义集合运算“差集”及初等一元不等式组的求解。首先通过对数和绝对值性质分别化简解出集合 $P$ 与 $Q$ 的数轴区间，再根据差集“在 $P$ 中且剥离 $Q$ 中元素”的几何定义求出最终范围。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 设 $P$ 和 $Q$ 是两个集合，定义集合 $P-Q=\{x|x\in P,\text{ 且 }x\notin Q\}$，如果 $P=\{x|{\log }_{2}x<1\}$，$Q=\{x||x-2|<1\}$，那么 $P-Q$ 等于()

A. $\{x|0<x<1\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|0<x\le 1\}$

C. $\{x|1\le x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\{x|2\le x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简解出集合 $P$：

• 方程为 ${\log }_{2}x<1$。
• 首先卡死对数定义域真数非负： $x>0$。
• 解不等式： ${\log }_{2}x<{\log }_{2}2⟹x<2$。
• 故 $P=(0,2)$。

2. 化简解出集合 $Q$：

• 方程为 $|x-2|<1⟹-1<x-2<1$。
• 各项同加 2 得： $1<x<3$。
• 故 $Q=(1,3)$。

3. 求解差集 $P-Q$：

• 差集几何意义为：在数轴上把属于 $P$ 的区间保留，但要强行挖去与 $Q$ 重叠相交的那部分。

• 属于 $P(0,2)$ 但不属于 $Q(1,3)$ 的部分即为 $(0,1]$。注意边界：由于 $Q$ 不含 1， 故挖完后 1 被保留在差集内。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对两个集合的不等式展开独立求解：

• 第一步：化简集合 $P$ 对于对数不等式 ${\log }_{2}x<1$， 首先必须满足真数严格大于 0（定义域防线）： $x>0$。 由于底数 $2>1$， 对数函数单调递增， 不等号方向保持不变： ${\log }_{2}x<{\log }_{2}2⟹x<2$ 综合可得： $P=\{x|0<x<2\}$。

• 第二步：化简集合 $Q$ 对于绝对值不等式 $|x-2|<1$， 脱去绝对值符号化为不分段夹逼不等式： $-1<x-2<1$ 各项同时加上 2： $-1+2<x<1+2⟹1<x<3$ 综合可得： $Q=\{x|1<x<3\}$。

• 第三步：求解差集 $P-Q$ 根据题意定义， 差集 $P-Q$ 代表所有“属于 $P$ 但不属于 $Q$”的元素集合。在直观数轴上表现为从区间 $P$ 中裁剪掉它与 $Q$ 的交集部分。 with a closed boundary at 1.] 因为 $P=(0,2)$， $Q=(1,3)$， 它们的公共交集为 $P\cap Q=(1,2)$。 从 $P$ 中剥离掉 $(1,2)$ 后， 剩下的左侧残存区间为 $(0,1]$。 (关于端点 1 的闭合性分析：因为 $1\notin Q$， 故在剔除 $Q$ 的过程中， 元素 1 没有被挖走， 依然安全地保留在原集合内部， 故 1 处应当取等号变闭区间)。

所以， 最终的差集结果为： $P-Q=\{x|0<x\le 1\}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数真数非负红线、绝对值不等式通解、差集运算的边界闭合性研判。
2. 核心方法：数形结合数轴裁剪法。
3. 避坑指南：

• 此题最容易在端点 1 的开闭上翻车而误选 A。
• 记住一个通用的集合裁剪边界准则：挖去一个开区间， 剩下的边界点变成闭点；挖去一个闭区间， 剩下的边界点变成开点。因为 $Q$ 在 1 处是开的（不含1）， 意味着 1 没被刨掉， 留给差集的必定是闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的差集运算、对数不等式的解法是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合的差集运算、对数不等式的解法的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用差集定义法、数轴区间切割法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 04.01 指数与对数运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-09 单-不等式
• 2008-天津卷理-08 单-不等式
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链