2013-江西卷文-06 单-分式不等式链

本题导读

本题考查不等式的解法，以及分式不等式。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 下列选项中，使不等式 $x<\frac{1}{x}<x^2$ 成立的 $x$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,-1)$　　　　B. $(-1,0)$　　　　C. $(0,1)$　　　　D. $(1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. $x>0$ 时 $x<x^2$ 需 $x>1$，但 $x>1$ 时 $\frac{1}{x}<x$，链断；$0<x<1$ 时 $x^2<x<\frac{1}{x}$，链反。故 $x<0$。
2. $x<0$：$x<\frac{1}{x}\iff x^2>1\iff x<-1$； $\frac{1}{x}<x^2\iff x<x^3\iff x(x-1)(x+1)>0\iff -1<x<0$ 或 $x>1$。
3. 交集：$x<-1$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

第一步，排除 $x>0$：$0<x<1$ 时 $x^2<x<\frac{1}{x}$，与 $x<\frac{1}{x}<x^2$ 矛盾；$x>1$ 时 $\frac{1}{x}<x$，链同样不成立。故 $x<0$。 第二步，$x<0$ 时解 $x<\frac{1}{x}$：两边同乘负数 $x$，不等号反向： $x^2>1\Rightarrow x<-1\text{或}x>1\Rightarrow x<-1.$第三步，解 $\frac{1}{x}<x^2$：两边同乘正数 $x^2$： $x<x^3\Rightarrow x^3-x>0\Rightarrow x(x-1)(x+1)>0\Rightarrow -1<x<0\text{或}x>1.$取交集：$\{x\mid x<-1\}\cap \{x\mid -1<x<0\text{或}x>1\}=(-\infty ,-1)$。 验证 $x=-2$：$-2<-\frac{1}{2}<4$ ✓。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式与整式不等式链 $x<\frac{1}{x}<x^2$

核心方法：$x<0$ 时两边同乘 $x$ 反号：$x<\frac{1}{x}\iff x^2>1$；$\frac{1}{x}<x^2$（乘 $x^2>0$）$\iff x(x-1)(x+1)>0$ → 交集 $(-\infty ,-1)$

避坑指南：解 $\frac{1}{x}$ 参与的不等式，必须先定 $x$ 的符号再乘：$x>0$ 与 $x<0$ 两边同乘 $x$ 时方向相反；先把 $x>0$ 的情形整体排除（$\frac{1}{x}$ 夹在中间两头都矛盾），再集中处理 $x<0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式与高次不等式（不等式链）。

结论推广：符号定序法；穿针引线（序轴）法。

方法推广：按 $x$ 符号分段 → 同乘变整式 → 三因式符号分析 → 取交集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-16 单-分式不等式
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2013-安徽卷文-11 填-函数定义域