2007-湖北卷理-09 单-古典概型

本题导读

本题考查平面向量夹角与古典概型的综合应用。通过向量夹角在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 的充要条件转化为数量积严格大于 0，进而结合骰子点数的有限离散特征进行全域枚举。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 连掷两次骰子得到的点数分别为 $m$ 和 $n$，记向量 $\mathbf{a}=(m,n)$ 与向量 $\mathbf{b}=(1,-1)$ 的夹角为 $\theta$，则 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 的概率是()

A. $\frac{5}{12}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{7}{12}$　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

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1. 计算样本空间总数 $N$：连掷两次骰子共有 $6\times 6=36$ 种等可能结果。
2. 转化夹角不等式条件：

• $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]⟺\cos \theta \ge 0$ 且 $\theta \ne 0$。
• 由于 $\mathbf{a}=(m,n)$ 且 $m,n\in \{1,2,3,4,5,6\}$， $\mathbf{b}=(1,-1)$，两向量不可能共线（共线需要 $m=-n$， 骰子点数均为正数， 无法成立），所以 $\theta \ne 0$ 恒成立。
• 故条件等价于数量积非负： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\ge 0$。

3. 坐标化展开并计数：

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=m\times 1+n\times (-1)=m-n\ge 0⟹m\ge n$。

• 统计满足 $m\ge n$ 的点数对 $(m,n)$ 数量。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：连续掷两次骰子，所有可能出现的点数对 $(m,n)$ 组成的样本空间总数为： $N=6\times 6=36\text{ 种}$

根据平面向量夹角余弦公式， 夹角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 等价于： $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|}\ge 0\text{且}\theta \ne 0$ 计算两向量的数量积： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=m\times 1+n\times (-1)=m-n$ 因为骰子点数满足 $m,n\in \{1,2,3,4,5,6\}$， 均为正数， 绝不可能满足 $m=-n$ 导致两向量方向相同（ $\theta =0$）。 因此， 目标事件转化为满足不等式： $m-n\ge 0⟹m\ge n$

下面分情况枚举满足 $m\ge n$ 的基本事件数 $n_0$：

• 当 $n=1$ 时， $m$ 可取 1, 2, 3, 4, 5, 6，共 6 种；
• 当 $n=2$ 时， $m$ 可取 2, 3, 4, 5, 6，共 5 种；
• 当 $n=3$ 时， $m$ 可取 3, 4, 5, 6，共 4 种；
• 当 $n=4$ 时， $m$ 可取 4, 5, 6，共 3 种；
• 当 $n=5$ 时， $m$ 可取 5, 6，共 2 种；
• 当 $n=6$ 时， $m$ 可取 6，共 1 种。

符合条件的基本事件总数为： $n_0=6+5+4+3+2+1=21\text{ 种}$

根据古典概型概率计算公式， 所求概率为： $P=\frac{n_0}{N}=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量夹角为锐角或直角的充要条件为数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\ge 0$（注意排除正向共线）、骰子二维网格枚举。
2. 核心方法：条件对立转化法、分类枚举法。
3. 避坑指南：

• 计数 $m\ge n$ 时可以利用对称性： $m=n$ 有 6 种情况。剩余 $36-6=30$ 种情况中， 由对称性知 $m>n$ 与 $m<n$ 各占一半，即 15 种。
• 故满足 $m\ge n$ 的总数直接口算为 $15+6=21$ 种， 这样可以大幅提高做选择题的速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与夹角公式、古典概型是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是平面向量的数量积与夹角公式、古典概型的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用坐标代数化简法、矩阵格点枚举法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-06 单-古典概型
• 2008-山东卷理-07 单-古典概型
• 2008-广东卷理-03 单-古典概型