2007-湖北卷理-10 单-排列组合数论综合

本题导读

本题作为选择题的压轴题，考查直线与圆有公共点且公共点横坐标为整数的综合计数问题。核心在于先找出圆 $x^2+y^2=100$ 上所有横纵坐标均为整数的点（整点），进而利用这些整点两两组合或者单点截距的形式去构建满足方程截距式形式的直线， 剔除不合规情况后求出总数。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ($a,b$ 是非零常数) 与圆 $x^2+y^2=100$ 有公共点，且公共点的横坐标均为整数，那么这样的直线共有()

A. 60 条　　　　　B. 66 条　　　　　C. 72 条　　　　　D. 78 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审清题目核心约束：

• 直线方程为截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，隐含条件：直线不能经过原点（因为 $a,b\ne 0$），且直线不能与坐标轴平行（非水平也非竖直直线）。
• 公共点的横坐标均为整数。因为公共点在圆 $x^2+y^2=100$ 上，横坐标 $x$ 为整数时，对应的纵坐标 $y$ 是否也必须是整数？
• 慢着，题目只要求“公共点的横坐标均为整数”。如果直线与圆相切，只有一个公共点，其横坐标为整数即可。
• 如果直线与圆相交，有两个公共点，则这两个公共点的横坐标都必须是整数。

2. 分析圆上的整点：

• 满足 $x^2+y^2=100$ 的整数对 $(x,y)$ 有哪些？
• 轴上点： $(\pm 10,0),(0,\pm 10)$，共 4 个。
• 勾股数点： $(\pm 6,\pm 8),(\pm 8,\pm 6)$，共 $4+4=8$ 个。
• 累计共有 12 个整点。

3. 分类讨论构建直线的计数模型：

• 情况一：直线与圆相交（有两个公共点）
• 这两个交点的横坐标都必须是整数，这意味着这两个交点本身就必须是圆上的整点。
• 从 12 个整点中任取 2 个点确定一条直线。总组合数 ${\text{C}}_{12}^2=66$。
• 必须剔除其中不符合截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a,b\ne 0)$ 的直线：
• 经过原点 $O(0,0)$ 的直线：对角整点连线（如 $(6,8)$ 与 $(-6,-8)$），共有 6 条。
• 与坐标轴平行的直线（水平或竖直）：
• 竖直线（横坐标相等）： $x=6,x=-6,x=8,x=-8$，共 4 条。（注意 $x=\pm 10$ 为切线，不属于相交）。
• 水平线（纵坐标相等）： $y=6,y=-6,y=8,y=-8$，共 4 条。
• 剔除数 $=6+4+4=14$ 条。
• 故合规相交线 $=66-14=52$ 条。
• 情况二：直线与圆相切（有一个公共点）
• 该切点的横坐标必须是整数，故切点也必须是这 12 个整点之一。
• 圆在 12 个整点处的切线共有 12 条。
• 检查这 12 条切线中哪些不符合截距式：
• 在坐标轴上的 4 个切点 $(\pm 10,0),(0,\pm 10)$ 处的切线分别是 $x=\pm 10$ 和 $y=\pm 10$，它们与坐标轴平行，不符合 $a,b\ne 0$ 的非零截距式，需剔除这 4 条。
• 其余 8 个勾股数整点处的切线（如在 $(6,8)$ 处的切线为 $6x+8y=100⟹\frac{x}{50/3}+\frac{y}{25/2}=1$），截距均非零且存在。
• 故合规相切线 $=12-4=8$ 条。

4. 计算总条数：总数 $=52+8=60$ 条。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解：已知圆的方程为 $x^2+y^2=100$， 其半径 $R=10$。 首先找出该圆上所有横纵坐标均为整数的“整点”：

• 位于坐标轴上的整点有： $(10,0),(-10,0),(0,10),(0,-10)$，共 4 个；
• 依据标准勾股数 $6^2+8^2=100$， 分布在四个象限的整点有： $(\pm 6,\pm 8)$ 和 $(\pm 8,\pm 6)$，共 8 个。 该圆上的整点累计共有 $4+8=12$ 个。

因为目标直线方程为标准截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 且 $a,b$ 是非零常数，这在几何上约束了该直线既不能经过原点，也不能与两条坐标轴平行。

下面根据直线与圆的交点个数展开分类计数：

分类一：直线与圆相交（有两个公共点）

若直线与圆相交，已知两个公共点的横坐标均为整数，则这两个公共点必然是上述 12 个整点中的某两个。 从 12 个整点中任意取出 2 个点，可以确定的直线总数为： $N_{\text{总}}={\text{C}}_{12}^2=\frac{12\times 11}{2}=66\text{ 条}$

从这 66 条直线中，必须强制剔除不符合非零截距式要求的特殊直线：

1. 经过坐标原点的直线：即由关于原点中心对称的两个整点相连构成的直线（如连接 $(6,8)$ 与 $(-6,-8)$），共有 $\frac{12}{2}=6$ 条；
2. 与 $y$ 轴平行的竖直线（两点横坐标相等）：共有 $x=6,x=-6,x=8,x=-8$ 共 4 条；
3. 与 $x$ 轴平行的水平线（两点纵坐标相等）：共有 $y=6,y=-6,y=8,y=-8$ 共 4 条。

由此得到合法的相交直线条数为： $N_{\text{相交}}=66-6-4-4=52\text{ 条}$

分类二：直线与圆相切（有一个公共点）

若直线与圆相切，唯一的切点横坐标为整数，则该切点也必然是上述 12 个整点之一。 圆在 12 个整点处的切线共有 12 条。同样必须刨除不符合非零截距式要求的切线：

• 经过轴上 4 个整点 $(\pm 10,0),(0,\pm 10)$ 的切线分别为 $x=\pm 10$ 和 $y=\pm 10$，它们与坐标轴平行，不合题意，必须剔除这 4 条；
• 经过其余 8 个勾股数整点处的切线，斜率均存在且截距非零，完全合规。

由此得到合法的相切直线条数为： $N_{\text{相切}}=12-4=8\text{ 条}$

综合两类情况，满足题干所有要求的直线总条数为： $\text{总条数}=N_{\text{相交}}+N_{\text{相切}}=52+8=60\text{ 条}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：截距式直线方程的隐含几何限制（不画过原点、不平行轴）、圆上整点的勾股数分布特征、相交与相切的独立分类计数。
2. 核心方法：全空间元素枚举剔除法。
3. 避坑指南：

• 本题得分率极低，最惨烈的丢分点在于漏掉“相切”这一隐性分类，直接误选了由 ${\text{C}}_{12}^2$ 减出来的 52 条（甚至直接看成 66 条错选 B）。
• 必须深刻理解“公共点的横坐标为整数”这句话。相切时切点就是公共点， 只要切点横坐标为整数就完全满足题意。深刻进行全面分类讨论是做对压轴选择题的唯一途径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系、勾股数与圆上的整点计数是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是直线与圆的位置关系、勾股数与圆上的整点计数的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用圆上整点完全枚举法、确定直线的两点组合法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2008-北京卷理-07 单-圆