2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程

本题导读

本题考查圆，以及圆的切线方程。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 过点 $(3,1)$ 作圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，则直线 $AB$ 的方程为()

A. $2x+y-3=0$　　　　　　　　　　　　　B. $2x-y-3=0$

C. $4x-y-3=0$　　　　　　　　　　　　　D. $4x+y-3=0$

🔍【思路分析】

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1. 识别模型：题目给出了圆外一点和圆的方程，求两切点连线的方程。这是一个典型的“切点弦”问题。
2. 应用公式：对于圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$，过圆外一点 $P(x_1,y_1)$ 引切线，切点弦 $AB$ 的方程为： $(x_1-x_0)(x-x_0)+(y_1-y_0)(y-y_0)=r^2$
3. 几何验证：也可以通过特殊点验证。观察圆心 $(1,0)$ 和点 $(3,1)$，其中一条切线显而易见是 $y=1$（与圆相切于 $(1,1)$），代入选项筛选。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：切点弦公式法 已知圆的方程为 $(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心为 $(1,0)$，半径平方 $r^2=1$。 圆外一点 $P(x_1,y_1)=(3,1)$。 代入公式 $(x_1-1)(x-1)+(y_1-0)(y-0)=1$： $(3-1)(x-1)+(1-0)(y-0)=1$ $2(x-1)+y=1$ $2x-2+y=1$ $2x+y-3=0$

方法二：排除法（几何观察） 观察圆心 $C(1,0)$，半径为 1。点 $P(3,1)$ 的纵坐标为 1。 由于圆上有一点 $(1,1)$，其到圆心的距离为 $\sqrt{(1-1{)}^2+(1-0{)}^2}=1$，说明 $(1,1)$ 在圆上。 过点 $(1,1)$ 且平行于 $x$ 轴的直线 $y=1$ 恰好经过点 $(3,1)$，且与圆垂直于半径 $y$ 轴方向，故 $y=1$ 是其中一条切线，切点 $A$ 为 $(1,1)$。 直线 $AB$ 必然经过点 $(1,1)$。 代入各选项验证：

• A: $2(1)+1-3=0$（符合）
• B: $2(1)-1-3=-2\ne 0$（排除）
• C: $4(1)-1-3=0$（符合）
• D: $4(1)+1-3=2\ne 0$（排除） 此时剩 A、C。再由另一切点 $B$ 的位置（在 $x$ 轴下方，即 $y<0$）可知直线斜率为负，排除 C。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切点弦方程的推导与应用。

核心方法：熟记切点弦公式。它的形式与圆在点 $(x_1,y_1)$ 处的切线方程完全一致，区别仅在于点 $(x_1,y_1)$ 在圆外。

避坑指南：不要尝试先求出 $A,B$ 两点的坐标再求直线方程，计算量会非常巨大，容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相切的判定（$d=r$）。

结论推广：若圆方程为标准式 $x^2+y^2=r^2$，则过点 $(x_1,y_1)$ 的切点弦方程为 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$。

方法推广：这种“类切线”的处理方式同样适用于椭圆、双曲线和抛物线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2026-新高考II卷-09 多-圆的方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)