本题导读
本题考查统计中的频率分布表、频率分布直方图的绘制及利用样本数据估计总体的概率与期望。核心在于理清“频数”、“频率”、“组距”和“”之间的代数关系，并能熟练利用组中值进行加权平均数（期望）的估算。
📌【题干】
Question
（2007年湖北卷(理)） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如下表：
(1) 补全频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2) 估计纤度落在 中的概率及纤度小于 的概率是多少？
(3) 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点值是 ）作为代表. 据此，估计纤度的期望.
/2007-湖北卷理-17-题.png)
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问：
- 数据总数 。每组的频率 。
- 组距 。
- 频率分布直方图的纵轴是 。依次算出各组的纵轴高度，画出对应的矩形。
- 第二问：
- 落在 内包含三个分组： ，将这三组的频率直接相加。
- 纤度小于 的概率： 恰好是第三组 的中点值。在频率分布直方图中，由于同一组内数据视为均匀分布，因此该组小于 的数据占该组的一半。累加前两组的全部频率， 再加上第三组频率的一半。
- 第三问：
依次写出六个组的组中值（中点值）： 。
期望（平均值） 。
✅【答案】
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待补
✍【详细解析】
Abstract
解：（1）由于样本数据总数为 ， 频率 。补全后的频率分布表如下：
\hline \text{分组} & \text{频数} & \text{频率} \\ \hline [1.30, 1.34) & 4 & 0.04 \\ \hline [1.34, 1.38) & 25 & 0.25 \\ \hline [1.38, 1.42) & 30 & 0.30 \\ \hline [1.42, 1.46) & 29 & 0.29 \\ \hline [1.46, 1.50) & 10 & 0.10 \\ \hline [1.50, 1.54) & 2 & 0.02 \\ \hline \text{合计} & 100 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$ 每组的组距为 $\Delta = 1.34 - 1.30 = 0.04$。计算各组在直方图中的纵坐标高度 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$： - 第一组： $\frac{0.04}{0.04} = 1$ ； 第二组： $\frac{0.25}{0.04} = 6.25$ ； 第三组： $\frac{0.30}{0.04} = 7.5$ - 第四组： $\frac{0.29}{0.04} = 7.25$ ； 第五组： $\frac{0.10}{0.04} = 2.5$ ； 第六组： $\frac{0.02}{0.04} = 0.5$ 绘制出的频率分布直方图如下： （2）① 纤度落在 $[1.38, \; 1.50)$ 内的频数之和为 $30 + 29 + 10 = 69$。 故估计纤度落在 $[1.38, \; 1.50)$ 中的概率为： $$P = \frac{69}{100} = 0.69$$ ② 因为 $1.40$ 恰好是区间 $[1.38, \; 1.42)$ 的中点值，根据频率分布直方图的均匀分布性质，落在 $[1.38, \; 1.40)$ 内的频率等于该组总频率的一半， 即 $\frac{0.30}{2} = 0.15$。 因此， 纤度小于 $1.40$ 的概率为前两组的全部频率与第三组前半部分频率的代数和： $$P(X < 1.40) = 0.04 + 0.25 + \frac{0.30}{2} = 0.29 + 0.15 = 0.44$$ （3）依次写出各组区间的中心组中值 $x_i$ 及对应的频率 $p_i$： - $x_1 = 1.32, \; p_1 = 0.04$ - $x_2 = 1.36, \; p_2 = 0.25$ - $x_3 = 1.40, \; p_3 = 0.30$ - $x_4 = 1.44, \; p_4 = 0.29$ - $x_5 = 1.48, \; p_5 = 0.10$ - $x_6 = 1.52, \; p_6 = 0.02$ 套用组中值加权求和公式，估计纤度的样本均值（期望）为： $$E = 1.32 \times 0.04 + 1.36 \times 0.25 + 1.40 \times 0.30 + 1.44 \times 0.29 + 1.48 \times 0.10 + 1.52 \times 0.02$$ $$= 0.0528 + 0.3400 + 0.4200 + 0.4176 + 0.1480 + 0.0304 = 1.4088$$ 答：估计纤度的期望为 $1.4088$。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：频率分布直方图纵轴含义（ ）、组内数据均匀分布假设的应用、用组中值计算样本期望。
- 核心方法：加权平均数法。
- 避坑指南：
- 画直方图时， 纵轴千万不能直接标频率。直方图各矩形的面积才代表频率， 故高度必须除以组距 0.04。
- 第二问中求“小于1.40”的概率，由于 1.40 落在第三组内部，**必须通过将该组面积对折切半（即除以2）**的方式计算。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查频率分布表与频率分布直方图、频率估算概率，是湖北卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
- 变式思考：本题的核心步骤（频数、频率、总数关系法、矩形面积叠加法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
- 知识关联：频率分布表与频率分布直方图、频率估算概率相互关联，解答中综合运用了频数、频率、总数关系法、矩形面积叠加法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。
🔗【关联脉络】
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